L’art d’accommoder les restes d’après Paul Erdös

Daniel Lecouturier , François DUSSON

- 29 mars 2021 -

Présentation [1]

JPEG - 7.2 ko
Paul Erdös en 1945

En 2017 dans le cycle Un texte, un mathématicien, l’enrichissante conférence Paul Erdös et l’anatomie des nombres entiers de Gerald Tenenbaum consacrée à la personnalité du mathématicien Paul Erdös (1913-1996) et au livre Proofs from THE BOOK [2] souligne l’importance de Joszef Eötvös et Laszlo Ratz dans le rayonnement intellectuel hongrois au XXème siècle (dont témoignent les mathématiciens Frédéric et Marcel Riesz, Léopold Fejér, George Polya, Gabor Szegö, John Von Neumann, Paul Turan, Alfred Rényi, Paul Halmos et les musiciens Béla Bartok, Zoltan Kodaly, Ferenc Fricsay, Fritz Reiner, Georg Solti, George Szell, Antal Dorati).

Le prestigieux prix Abel qui vient de récompenser Laszlo Lovasz [3] de l’université Lorand Eötvös neuf ans après Endre Szemerédi atteste de la fécondité durable d’une politique éducative ambitieuse.

Cette archive permet de consulter les nombreuses publications [4] de Paul Erdös à qui le site Image des Mathématiques a consacré une page en 2013.

Un résultat connu depuis Euler

En 1938, le jeune mathématicien hongrois Paul Erdös a proposé une preuve par l’absurde [5] de la divergence de la série des inverses des nombres premiers : si on note $\mathcal{P}$ l’ensemble des nombres premiers

$$\sum_{p\in\mathcal{P}}{\frac{1}{p}}=+\infty$$

Cette notation empruntée à l’enseignement supérieur signifie que quelque soit la borne $A$ arbitrairement grande, il y a suffisamment de nombres premiers pour que la somme de leurs inverses dépasse $A$. Vous avez sans doute connaissance d’une preuve que les nombres premiers sont en nombre infini, mais l’exemple de la suite géométrique de raison $2$ : $1,2,4,8,\ldots$ illustre que, bien qu’en nombre infini, les inverses de ces nombres ont une somme finie : $\sum_{n=0}^{+\infty}{1/2^n}=2$. Cette nuance est à la base du paradoxe d’Achille et de la tortue.

Un premier document [6] propose quelques exercices sur ce thème. Le deuxième document [7] aboutit à une conclusion effective mais décourageante ! Effective car il suffit d’additionner les inverses de tous les nombres premiers inférieurs à $N=\exp(\exp(A+2))$ pour que la somme dépasse $A$. Décourageante parce que le calcul numérique de $N$ quand $A=10$ dépasse la capacité de votre calculatrice !

Le site How Euler did it hébergé par la Mathematical Association of America (MAA) permet de découvrir, au fil des chroniques de Edward Sandifer, l’ampleur des connaissances d’Euler, et notamment certaines qui concernent les nombres premiers et les séries.

Si vous voulez réfléchir aux notions de convergence, voici quelques articles en ligne :

  • un bref article de Jérôme Buzzi paru sur le site Image des Mathématiques qui commente ... Euler.
  • une série d’articles sur le blog Science Etonnante de David Louapre : un plus deux plus d’excellentes références (Terence Tao, G.H.Hardy, Lê) à la fin du deuxième billet pour s’aventurer encore plus loin.

Une preuve originale

Les nombres premiers sont rangés dans une suite croissante : $p_1=2,p_2=3,\ldots$ Si la série convergeait (hypothèse que nous noterons H), alors on pourrait définir la suite des restes $R_n=\sum_{j=n+1}^{+\infty}{\frac{1}{p_j}}$ (où cette fois on ne somme les inverses des nombres premiers qu’à partir d’un certain rang) qui tendrait vers 0 (conséquence notée C).

Dans le but de produire une contradiction, fixons arbitrairement un rang $n$ et qualifions de petits les nombres premiers $p_1,\ldots,p_n$, les autres sont qualifiés de grands. Les nombres entiers inférieurs à une borne arbitrairement grande $N$ sont ensuite classés selon leur factorisation :

  • d’une part ceux qui comportent exclusivement des petits facteurs premiers, on note $N_-$ leur nombre
  • d’autre part, ceux qui comportent au moins un grand facteur premier, on note $N_+$ leur nombre.
  • Par définition $N=N_-+N_+$.
  • Erdös établit inconditionnellement la majoration $N_-\leq 2^n\sqrt N$ par un dénombrement qui repose sur le plus grand facteur carré.
    • Dans la factorisation d’un entier $m$, il regroupe les facteurs premiers qui figurent avec une multiplicité impaire, note leur produit $a$ afin que le quotient $m/a$ soit un carré : ainsi tout entier $m$ s’écrit $m=ab^2$.
    • Le nombre de valeurs $b$ compatibles avec la borne $N$ est inférieur à $\sqrt{N}$.
    • Le nombre de produits $a$ de petits nombres premiers ($a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}$ où $\forall i,\, \alpha_i\in\{0,1\}$) est $2^n$.
    • Il y a donc au plus $2^n\sqrt{N}$ nombres sans grand facteur premier entre $1$ et $N$.
  • L’hypothèse de convergence H permet la majoration $N_+\leq NR_n$.
    • Si $p\geq 1$ est un entier, l’ensemble $M_p$ de ses multiples inférieurs à la borne $N$ a $\lfloor N/p\rfloor$ éléments [8].
    • La réunion des ensembles $M_{p_j}, j>n$ reconstitue l’ensemble des nombres inférieurs à $N$ qui ont au moins un grand facteur premier, d’où la majoration

      $$ N_{+}\leq \sum_{j>n,p_j\leq N}{\lfloor N/p_j \rfloor}\leq NR_n$$

      .
  • La convergence H entraîne donc l’inégalité $ N\leq NR_n+2^n\sqrt N$ valable quelque soit les entiers $n$ et $N$ ou encore

    $$\forall n,N,\, 1\leq R_n+\frac{2^n}{\sqrt N}$$

    .
  • $N\to +\infty$ produit la minoration $\forall n,\, 1\leq R_n$ qui est contradictoire [9] avec C donc avec H.

[1] La photographie de Paul Erdös est empruntée à la Fondation Guggenheim

[2] traduit en français : Raisonnements divins, Martin Aigner et Günter M.Ziegler, Springer Verlag

[3] Vous pouvez lire sa dédicace sympathique adressée à Paul Erdös pour ses 80 ans.

[4] qui ne sont pas toutes de lecture aisée à cause de la langue (hongroise, allemande ou anglaise) du niveau et du public visé, mais les articles co-signés avec Gérald Tenenbaum sont écrits en français.

[5] Chapitre 1, sixième preuve dans le livre

[6] Ce premier document (1 page A4 au format pdf, 130ko) explore sur des exemples la notion de série et de convergence

[7] Ce deuxième document (3 pages A4 au format pdf, 242ko) suit une méthode plus quantitative proche de la quatrième preuve du livre Raisonnements divins.

[8] la notation $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière de $x$

[9] Cette manière de conclure diffère de l’article initial et du livre mais a déjà été mise en oeuvre dans un exposé datant de 2019.