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LA DÉMONSTRATION EN GÉOMÉTRIE PLANE dans les premières années de l’enseignement secondaire

par
Claude VILLERS, avec la collaboration de
M. Frémal, R. Gossez et R. Haine, pour la
SBPMef (Société Belge des Professeurs de
Mathématiques d’expression française).

Co-diffusion APMEP : cf. plaquette « VISAGES
… » p. 29.
Brochure en A4, de 144 pages pour autant de
feuilles imprimées seulement en recto avec
de nombreuses et grandes figures … et une
très claire présentation. Table des matières
détaillée. 3 pages de « repères historiques »,
1 de références. En tout plus de 150 exercices
– résolus pour la moitié –.
Prix, port compris : en Europe : 12,5 € ,
sinon : 13,7 € .

En guise d’Introduction, un joli exercice.

En PREMIÈRE PARTIE (17 pages et 5
chapitres), un préambule « d’affirmations
et constats »
sur l’importance majeure de la
résolution de problèmes et des caractères de
l’enseignement des maths visant à rendre
apte
à les résoudre … avec un joli rappel
d’un texte de 1938 : « Que le maître s’ingénie donc à semer de fleurs le chemin que le
préjugé prétend hérissé d’épines ! ». Les
constats portent sur deux tests relatifs à
des problèmes :

– les élèves ayant reçu des fiches de suggestions de résolution ont moins bien réussi que
les autres (!),
– ces « autres »-là ont proposé de nombreuses méthodes, ce « qui permet un entretien des connaissances acquises ».

DEUXIÈME PARTIE (112 pages) : SUGGESTIONS
Chapitre 6. GÉNÉRALITÉS
J’y relève d’abord l’intérêt d’énoncés sans
questions
, celui des figures tracées pas à pas
avec étude à chaque pas, celui des logiciels
de géométrie dynamique, celui d’accepter
tout moyen de démonstration.
Suivent, sur près de trois pages, «  les premières propriétés de base » (avec le vœu que
leur liste soit dressée par chaque élève au fur
et à mesure de leur apparition), puis sur près
de deux pages, des « stratégies élémentaires » pour l’isométrie de segments ou
d’angles, des alignements, concours ou cocyclicité. Les « visions géométriques  », sur
trois études, mettent en valeur l’intérêt de
« figures d’études multipliées et modifiées
de manière à faire apparaître les conséquences du respect des contraintes des énoncés d’une part et des découvertes successives
d’autre part ».
Les chapitres 7, 8, 9, 10, 11 s’articulent respectivement autour de la symétrie centrale, des symétries orthogonales, des rotations, des translations, des isométries.
Trente neuf pages y sont consacrées à des
exercices avec des résolutions dûment établies pas à pas (avec des choix, réactions et
recherches aux enchaînements suggestifs),
puis à des énoncés de la même famille.
Sous le titre « SIMILITUDES », le chapitre 12 (6 pages), qui utilise le théorème de
Thalès-triangle et les triangles semblables
démarre par un théorème à revaloriser : celui
dit «  de la bissectrice » (avec AD bissectrice
de $\widehat {BAC}$, D sur (BC), DB/DC = AB/AC),
ensuite exploité, notamment pour une
démonstration peu classique du théorème de
Pythagore. Un joli exercice ultérieur montre
l’intérêt d’une construction pas à pas (avec
étude chaque fois !) d’une figure un peu
compliquée…
Le chapitre 13 « DU GÉNÉRAL AU PARTICULIER : un filon à exploiter » en
donne cinq exemples. J’ai particulièrement
admiré le second : en particularisant un quadrilatère par la contrainte pour ses diagonales
d’être perpendiculaires, il en vient, en sept
étapes, au cercle d’Euler… Le quatrième
exemple donne aussitôt Pythagore à partir
d’un classique théorème de Pappus.
Le chapitre 14 « GÉOMÉTRIE, MOUVEMENT ET DÉMONSTRATION » traite de
lieux géométriques qui n’hésitent pas à aborder, logiciel à l’appui, tout déplacement de
point-clé. D’où, éventuellement, des points
dérivés, des coniques, une rosace, … avec, au
moins, de jolis dessins et beaucoup de questions
Le chapitre 15 « FAMILLE DE COURBES » étudie, de façon originale l’influence,
à propos de lieux, des modifications des
configurations. Ainsi, à partir de deux axes
∆ , ∆′ perpendiculaires, il est indifférent de
déclarer des projections parallèles à ∆ ou
perpendiculaires à ∆′ , mais si ∆ et ∆′ ne sont
plus perpendiculaires ? À lire !
Le chapitre 16 « MÉLI-MÉLO D’EXERCICES » dissèque superbement une genèse
de démonstration, puis propose quatre études
du difficile théorème de Steiner-Lehmus :
« Si un triangle a deux bissectrices intérieures égales, il est isocèle ». Il propose
ensuite deux méthodes pour une
« Construction de Lagrange » et termine par
divers exercices en montrant comment
exploiter, en recherche, un thème de figure…
MA CONCLUSION : On l’aura devinée !
Quel beau travail, à mettre entre les mains de
tout enseignant, même chevronné, à plus
forte raison débutant … !

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