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LA NOTION D’INFINI. L’INFINI MATHÉMATIQUE ENTRE MYSTÈRE ET RAISON. Intuitions, paradoxes, rigueur

Henri Bareil

par Thérèse GILBERT et Nicolas ROUCHE.

Éd. Ellipses.

348 pages en 16,5 $\times$ 24. Très bonne présentation, dessins très clairs. Index d’environ 120 entrées. Abondante bibliographie.

ISBN : 2-7298-0617-2.

« On rencontre […] souvent l’infini dans les mathématiques élémentaires, et de manière quasi-permanente lorsqu’on aborde l’analyse.

Or l’univers mental que l’on se construit au cours de mathématiques est un composé, variable d’un esprit à l’autre, de sens commun et de mathématiques plus ou moins établies. Dans cet univers, l’infini pose ques- tion, ou plutôt les infinis posent des questions, variables selon les contextes ». Dans la foulée, dans l’Avant-Propos, les auteurs énumèrent les questions fondamentales concernant la réalité de l’infini, les limites de suites, les parallèles, les droites et les points, les décimaux illimités, …, la récurrence et l’induction. Puis ils évoquent les types de réponses : par intuitions, émergences d’îlots de rationalité, chemins vers la rigueur, …

• SIX CHAPITRES, émaillés de 16 jolis exercices corrigés en fin de livre de façon détaillée et de longueur très variable :
1. Le fini témoigne de l’infini (68 pages).
2. L’infini est-il dans la réalité ? (28 pages).
3. L’infini est en vue (perspective et … points
à l’infini (78 pages).
4. Faire la droite avec des points (46 pages).
5. Les réels : mesures, écritures ou objets de calcul ? (56 pages).
6. L’infini accepté (46 pages).

• TOUT AU LONG, LA MÉTHODE DES AUTEURS EST TRÈS CLAIRE : Des situations bien choisies font émerger des problèmes d’infini. Des questions se posent, des ouvertures pratiquées. Un débat s’instaure qui, parfois, semble faire avancer de pertinentes réponses, pour, ensuite, d’autres problèmes aidant, les remettre en question… Les auteurs ne nous laissent nous complaire en rien (sinon dans l’admiration de leur méthode, de leurs études et de leur capacité à nous y associer) … jusqu’au « terme d’un travail » qui en arrive « à donner un statut mathématique à l’infini actuel, ou plutôt aux infinis actuels, car la formulation varie d’une situation à l’autre ». Et nous voilà ainsi pourvus « de façons de parler de l’infini … en mathématiques ».
Car nous sommes dans le domaine des mathématiques, nous faisons des mathématiques, même si les auteurs ne refusent pas quelques (courtes) échappées historiques, philosophiques ou métaphysiques, par exemple, à propos du paradoxe de Zénon, ou avec Aristote, Pascal, …

La plupart des situations-problèmes de départ sont classiques. On les redécouvre ici avec des regards neufs, aiguisés par des difficultés, jusqu’alors peut-être insoupçonnées, soulevées par les concepts d’infini…
J’en ai relevé environ 17 allant du « Tapis de Sierpinski », d’« Achille et la tortue », de « la lampe de Thomson », … aux « hôtels de Hilbert et de Vilenkin »…
Les auteurs y jouent d’abord volontiers les candides : ainsi, à propos de la mouche qui, à 100 km/h, vole d’un train à un autre, alors qu’ils vont se croiser dans une heure, calculent-ils, en premier lieu, les trajets successifs accomplis par la mouche… Des interrogations surgissent quant à leur somme, au terme général, … à la limite, … « Une somme infinie » qui a un « résultat fini » ! Viennent alors, en point d’orgue, le calcul ultra-rapide bien connu !, … et une extension du problème.

Parfois, nous sommes intéressés à des situations apparemment différentes pour découvrir qu’elles témoignent d’une même réalité quant aux problèmes d’infini. Ainsi en va-t-il, par exemple, des images avec deux miroirs parallèles, des rebonds d’une balle, des vitesses des pieds d’une échelle soulevée par une grue, des strates d’une tour – stable – aussi en surplomb qu’on le veut… De même dégagent-ils l’identité entre tel problème de probabilités, une écriture en base 4 et un pro- blème d’aire…

Pour aller vers plus de rigueur, Thérèse Gilbert et Nicolas Rouche proposent souvent d’analyser, quant aux interventions explicites ou sous-jacentes de l’infini, des « calculs douteux » : un bel appel à l’attention et à la sagacité !
Ou encore, partant de calculs valides dans certains domaines, ils nous font découvrir leur dangerosité dès que, par exemple, pointent une associativité ou une commutativité « à prendre avec des pincettes ». Ainsi, faute de précautions, à propos de la série harmonique alternée $S =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ,peut- on déboucher, d’une part, sur S = 0, et, d’autre part, sur $S >\frac{1}{2}$ … L’erreur du S = 0 nous oblige alors à reprendre des calculs antérieurs : « relisez le raisonnement de la page … et récrivez-le plus rigoureusement »… C’est d’une très belle pédagogie, la recherche de la rigueur n’intervenant que quand on a décelé les pièges de son absence…

Les problèmes de perspective, de droites et demi-droites, de la confrontation de ces concepts avec celui de point, tiennent (Chapitres 3 et 4) la place à laquelle on s’attendait … avec une sage conclusion : « Rien dans les axiomes du groupe d’appartenance […] ne nous oblige à voir la droite comme l’ensemble de ses points, rien, non plus, ne nous en empêche. Cette question ne relève pas de la géométrie. Néanmoins Hilbert a introduit son axiome d’intégrité pour que l’ensemble des points d’une droite puisse être mis en bijection avec l’ensemble des réels. De là à considérer la droite comme l’ensemble de ses points, il n’y a qu’un pas, du moins au niveau des intuitions ».

Le chapitre sur les réels, au titre éloquent, mobilise Bolzano, Dedekind (avec ses « coupures »), Peano, Cantor, Dieudonné, …, avec des objections multiples – qui nous font vigoureusement réfléchir aux concepts d’infini ! – pour aboutir à une approche pragmatique : « Puisqu’une définition des réels doit servir à fonder l’analyse, puisqu’elle doit être efficace dans des démonstrations […] », imposons les propriétés nécessaires pour cela… Suit une étude très technique … terminée par un tour d’horizon de diverses constructions de « la structure $\mathbb R$ ».
Les déclencheurs de développements-inter- rogations sont parfois fort simples. Ainsi, avec 1,999… et 2. (Une anecdote des années 1970 qui légitimerait ces interrogations dans ce cas :
– Le professeur : Dans $\mathbb R$ , il est impossible d’intercaler un nombre entre 1,999… et 2. Donc 1,999… = 2.
– Un élève : M’sieu. Alors 3 = 4 ?
– Le professeur : Plaît-il ?
– L’élève : Dans $\mathbb N$ , il est impossible d’intercaler un nombre entre 3 et 4. Donc 3 = 4.]

Un excellent livre, quant aux infinis en mathématiques, qui est, simultanément, un beau livre de mathématiques et un superbe exemple de méthodes de questionnement et d’enseignement.

Un livre à posséder et à méditer…

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)