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LE DÉFI DE HILBERT. Un siècle de mathématiques

par Jeremy J. Gray.

Traduit de l’anglais. Éditions Dunod (collection UniverSciences), Paris, 2003.
368 pages. 29 € . ISBN : 2 10 006760 5.

Né à Königsberg en 1862, David Hilbert fut
peut-être le plus grand mathématicien du
vingtième siècle. Son influence a été considérable sur le développement des mathématiques jusqu’à nos jours.

Le 8 août 1900, David Hilbert saisit l’occasion offerte par le Congrès International des
Mathématiciens à Paris pour exposer 23 problèmes illustrant ses vues sur les mathématiques. Hilbert choisit des problèmes, car il
pensait que les mathématiques avancent par
leur résolution. Les problèmes, dit-il à son
auditoire, sont le signe que la discipline est
vivante. Le bénéfice des problèmes est que,
en les résolvant, le chercheur acquiert une
vue élargie du sujet. Bien entendu, certains
problèmes sont plus profonds que d’autres.
Les meilleurs sont caractérisés par leur clarté et leur facilité de compréhension, vertus
plus communément associées aux théories.
Les problèmes doivent être difficiles mais
pas complètement inaccessibles, et la découverte de leur solution devrait être source de
plaisir…
Il fit ensuite le lien entre la valeur des problèmes et les théories qu’ils inspirent. Cet
aspect se révéla crucial quant à la longévité
des problèmes, car il offrait au chercheur une
raison supplémentaire de bien approfondir le
problème choisi. Un problème de premier
ordre, selon Hilbert, est un problème qui
ouvre un sujet et mène peut-être à un nouveau champ de recherche. De cette façon il
continue à vivre, même si, en un certain sens,
il est résolu.

103 ans plus tard, Jeremy Gray dresse un
large panorama de ces problèmes : ce qu’ils
étaient, pourquoi ils ont été proposés, ce
qu’ils sont devenus au cours du vingtième
siècle. Un siècle de progrès fulgurants auxquels contribuèrent les mathématiciens du
monde entier
en cherchant à résoudre ces
problèmes. Un siècle de découvertes qui
connurent d’innombrables applications,
notamment en physique. Un siècle marqué
par une profusion d’idées inégalée.

À travers l’aventure des problèmes de
Hilbert, Jeremy Gray retrace celle des mathématiques et des mathématiciens du vingtième siècle, replacés dans leurs contextes
sociaux, historiques et culturels. Notices
bibliographiques, anecdotes historiques et
rappels théoriques enrichissent cet ouvrage
tantôt savant, tantôt savoureux. Véritable
panorama d’un siècle de défis, il permet de
comprendre et d’apprécier ce que sont devenues les mathématiques aujourd’hui : une
science plus fondamentale, plus vivante et
plus souveraine que jamais.

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