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LES MATHÉMATIQUES DU MIEUX FAIRE

Volume 1, Premiers pas en optimisation.

- 13 février 2009 -

par Jean-Baptiste Hiriart-Urruty.

Ellipses, Opuscules, décembre 2007.

132 p. en 14,5 × 19,

ISBN : 978-2-7298-3667-2.

L’auteur, qui a déjà publié depuis 1988 plusieurs ouvrages sur l’optimisation se propose ici de guider les premiers pas de l’étudiant de licence ou du curieux en mettant l’accent sur les idées et en donnant une ou plusieurs démonstrations dont certaines inédites ; il aborde au passage plusieurs domaines utilisateurs : automatique, économie, analyse numérique, statistique.

L’ouvrage est divisé en quatre parties :
- 1. Introduction à ce qu’est un problème d’optimisation : enjeux et problèmes (existence et unicité, conditions nécessaires et conditions suffisantes d’optimalité)  ; classification des problèmes (programmation linéaire, optimisations convexe, différentiable, SDP, non différentiable, multicritère, en dimension infinie).
- 2. Minimisation sans contraintes : existence d’un minimum, unicité, conditions du premier ordre (minimalité locale, globale, à e près), du second ordre, d’ordre supérieur.
- 3. Minimisation avec contraintes : conditions nécessaires du premier ordre, contraintes égalités, inégalités, plus générales (privilèges du linéaire, confort du convexe, retour au différentiable), du second ordre (nécessaires, suffisantes), sensibilité aux perturbations des contraintes.
- 4 . Minimisation avec contraintes : pointsselles de lagrangiens ; premiers pas dans la théorie de la dualité : les points-selles, maximinimisation, existence, pointsselles de lagrangiens, dualisons ; les multiplicateurs comme paramètres de sensibilité aux perturbations des contraintes.

Une courte annexe rappelle quelques notations et résultats d’algèbre linéaire, de calcul différentiel et de convexité.

Trois pages de notices biographiques font revivre les pionniers et les développeurs de la théorie de Pierre Fermat à Ivar Ekeland ; la bibliographie donne les ouvrages de base de ces trente dernières années et la centaine d’entrées de l’index permet de rentrer dans le volume pour retrouver une définition ou une méthode.

Le lecteur appréciera une nouvelle fois les qualités pédagogiques de l’auteur, sa maîtrise des figures, son humour entraînant, sa parfaite connaissance non seulement du cœur du sujet, mais aussi des domaines d’application les plus variés.

L’étudiant de licence et l’agrégatif goûteront la concision et la clarté qui leur permettront de retenir la structure. Les enseignants pourront mettre à jour leurs connaissances en y trouvant l’essentiel et les esprits curieux y trouver de quoi s’exercer.

Paul-Louis HENNEQUIN