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LES MATHÉMATIQUES DU MIEUX FAIRE

Volume 2, La commande optimale pour les débutants

- 13 février 2009 -

par Jean-Baptiste Hiriart-Urruty.

Ellipses, Opuscules, janvier 2008.

164 p. en 14,5 × 19.

ISBN : 978-2-7298-3737-2.

La commande optimale d’un système consiste à le piloter en vue de l’exécution d’une tâche précise tout en rendant minimum une variable telle que la consommation d’énergie ou le temps nécessaire.

Dans notre société contemporaine, de tels systèmes ne manquent pas, du robot au satellite artificiel et leur bon fonctionnement a des implications financières considérables.

Ce second volume qui résulte d’un détachement partiel de l’auteur au CNES en 2000- 2001 et de nombreux échanges avec des collègues automaticiens, enseignants ou ingénieurs, accorde beaucoup plus de place que le précédent aux exemples empruntés aux domaines les plus variés et traités en détail et moins aux démonstrations.

Le premier chapitre est consacré à une mise en jambes sur un exemple élémentaire de commande optimale d’un système gouverné par une équation différentielle linéaire.

Le second aux diverses formalisations des problèmes (Lagrange, Mayer, Bolza), et à une foule d’exemples (engin balistique, trajectoire d’un avion, production d’acier, insectes nuisibles et prédateurs, mobiles dans le plan, gestion de portefeuille, rame de métro, alunissage, décollage d’avion, transfert orbital de satellite). Il donne ensuite quelques outils (fonctions continues ou C1 par morceaux, absolument continues)

Le troisième donne successivement des résultats d’existence de solutions, le principe du minimum de Pontryagin, des conditions suffisantes d’optimalité et quelques méthodes numériques de résolution.

Le quatrième détaille des exemples de problèmes résolus (isopérimétrie en calcul variationnel, niveau de glucose dans le sang, production d’acier, campagne de pêche, insectes nuisibles et prédateurs, gestion de portefeuille, transfert de fichiers informatiques, rame de métro, mobile en présence de frottement, mobile dans le plan avec contrainte sur la courbure, décollage d’un avion, traversée d’un fleuve en bateau, alunissage, commande agissant sur la vitesse).

Comme le précédent, cet opuscule se termine par des notices biographiques où l’école soviétique se taille la part du lion, une bibliographie et un index.

Bien que beaucoup plus tourné vers les applications et les utilisateurs que le précédent, ce volume se lit avec autant de plaisir  ; les agrégatifs y trouveront de quoi préparer l’épreuve de modélisation et les professeurs de quoi répondre à l’éternelle question  : à quoi servent les mathématiques aujourd’hui ?

Paul-Louis HENNEQUIN