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La Recherche présente : Histoire des nombres.

- 13 février 2009 -

Éditions Taillandier, 2007.

ISBN : 978-2-84734-422-6.

300 pages en 21,5 × 14,5.

Ce volume rassemble 22 textes, de 30 auteurs, précédemment parus dans La Recherche en 1999 et 2003, remis à jour pour la présente édition :

- I. Qu’est-ce qu’un nombre ? (entretien avec C. Houzel).
- II. La naissance du nombre en Mésopotamie (C. Goldstein).
- III. Existe-t-il des nombres infinis ? (H. Benis Sinaceur).
- IV. David Hilbert et les mathématiques du XXe siècle (H. Benis Sinaceur et J.-P. Bourguignon).
- V. L’intrigue des nombres premiers (H. Cohen).
- VI. Ces curieux nombres p-adiques (D. Barsky et G. Christol).
- VII. Le hasard des nombres (G. J. Chaitin).
- VIII. Les lois de grands nombres (J.-P. Bouchaud).
- IX. Le théorème de Fermat enfin démontré (C. Goldstein).
- X. Les codes correcteurs d’erreurs (G. Lachaud et S. Vladut).
- XI. La double correction des turbocodes (C. Berrou et collaborateurs). (J.-M. Müller).
- XIII. La démesure du mètre (K. Alder). XIV. Le nombre et la constitution (A. Desrosières).
- XV. Une nouvelle façon de (nous) compter (F. Lemarchand).
- XVI. La culture des sondages (entretien avec L. Blondiaux).
- XVII. Tempête sur l’indice des prix (M. Armatte).
- XVIII. Être ou ne pas être dans le PIB ? (A. Vanoli).
- XIX. Faites-vous du 85B ou du 1,7 ? (A. Debroise).
- XX. La dictature des valeurs extrêmes (C.Walter).
- XXI. Les petits nombres ont-ils leur loi ? (P. Crépel et S. Hertz).
- XXII. Les nombres et l’essence des choses (B. D’Espagnat).

S’y ajoutent : Notes, Les auteurs, Bibliographie, Sites Internet, Lexique.

Plutôt qu’« Histoire des nombres », le titre de cet ouvrage devrait être « Histoires de nombres ». Certes, l’historique des inventions des différents types de nombres, depuis les entiers positifs de la préhistoire jusqu’aux transfinis de Cantor, aux « nombres surréels » de John Conway et aux nombres p-adiques, se retrouve ici, rapidement résumée dans I, avec développement de certains ponts précis dans II, III, VI (curieusement, on ne trouve rien sur les quaternions) ; les questions de notation des nombres sont traitées dans II ; IV retrace une importante page de l’histoire récente des mathématiques ; mais un plus grand nombre d’articles est consacré à un bilan des connaissances actuelles en arithmétique (V, IX), en informatique et théorie de l’information (X, XI, XII), et surtout dans des domaines particuliers des probabilités et statistiques (VII, VIII, XIV à XXI). Dans la plupart d’entre eux, la perspective historique ne remonte pas plus loin qu’au XIXe siècle.

Le livre se termine par de brillantes et pertinentes considérations philosophiques sur les rapports entre les mathématiques et la réalité.

Le principal défaut de ce type d’ouvrage, un peu fourre-tout, est en même temps une qualité  : chaque lecteur, qu’il soit passionné par l’histoire des maths, la philosophie des maths, les maths pures, les maths appliquées à la physique, les statistiques, l’informatique, etc., trouvera ici des matériaux riches et denses dans son domaine de prédilection, mais aussi des textes qui ne le concernent pas a priori ; ce peut être l’occasion pour lui de découvrir un domaine jusque là étranger.

On peut néanmoins estimer que certains domaines sont ici surreprésentés, peut-être suivant un effet de mode : cryptographie, économie, statistiques.

Les différents textes sont aussi très variés sous les points de vue du niveau d’abstraction, du public visé, de la facilité de lecture  : beaucoup sont à la portée du profane, sans calculs ni formules ; plusieurs s’adressent d’ailleurs plutôt aux sociologues ou économistes qu’aux mathématiciens (XIV, XV, XVII) ; quelques autres ont un contenu mathématique dense qui nécessite quelque effort d’assimilation et un certain bagage mathématique : VI utilise des distances sur Q inusuelles, dans VII l’auteur esquisse une démonstration du théorème de Turing, X mobilise la théorie des corps finis ; une mention spéciale à IX, passionnant de bout en bout, qui parvient à donner une idée générale de la démonstration de Wiles.

Un point à souligner est que beaucoup des chercheurs- auteurs exposent et expliquent leurs propres résultats : le lecteur est en prise directe avec les mathématiques en train de se faire.

Il sera peut-être plus profitable de consulter « Histoire des nombres » régulièrement que de le lire linéairement. Il s’agit en tous cas d’un excellent ouvrage de culture mathématique à la fois « pointue » et « tous azimuts  » .

Marc ROUX