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La construction tractionnelle des équations différentielles

par Dominique
Tournès.

Éditions Albert Blanchard (Collection
Sciences dans l’histoire) Octobre 2009.

414 pages en 16 × 24.

ISBN 978-2-85367-247-4.

Si tous les mathématiciens, du moins ceux
du siècle passé, connaissent le nom de
Jacopo Riccati (1676-1754) attribué à une
équation différentielle, peu savent que son
quatrième fils Vincenzo (1707-1775) a
écrit en 1752 un traité De usu motus tractorii
in constructione aequationum differentialum
,
qui fait la synthèse des travaux de
l’époque sur les équations différentielles et
leur résolution par des dispositifs mécaniques.

Par exemple un des premiers,
Claude Perrault, l’architecte de la colonnade
du Louvre et le frère de Charles le conteur
a étudié la génération de la tractrice, courbe
décrite sur une table horizontale par une
montre B tirée par un fil de longueur fixe
AB quand A décrit une droite. Une traduction
inédite en français du mémoire de V. Riccati
fait ici l’objet d’une annexe de 70 pages.

L’ouvrage commence par un chapitre
consacré au long chemin qui mène de la
tractrice aux intégraphes universels : la
tractrice de Perrault et ses propriétés, les
projets de Huygens, l’avis de Leibniz, un
beau problème de Jacques Bernoulli, un
intégraphe universel, les courbes des chaloupes,
John Perks.

Le second chapitre nous entraine dans l’environnement
italien de Vincenzo Riccati
qui participe activement à la diffusion du
calcul infinitésimal et avec Poleni, Conti,
Manfredi, Suardi au développement d’instruments
tractionnels.

Le troisième relate l’histoire de l’équation
de Riccati, sa construction tractionnelle,
les travaux que lui consacrent Euler et
Clairault.

Le quatrième présente le mémoire de
Vincenso, sa filiation avec Euler et
Clairaut, son style et son plan, sa postérité.

Les trois suivants analysent les trajectoires
à tangente constante, celles à directrice
fixe, celles à tangente ou directrice
variable, et le huitième les constructions et
tracés des trajectoires qui figurent dans le
mémoire. Malheureusement, celui-ci n’a
pas connu la postérité qu’il aurait mérité :
arrivé trop tard, alors que la géométrie
cédait le pas à l’algèbre et que les séries
devenaient l’outil privilégié.

Cependant après une longue éclipse, les
« tractoires » occupent à nouveau le
devant de la scène : Coriolis, Abdank-
Abakanowicz, Prytz, Klertitj mettent au
point des intégraphes (chap. 9), le colonel
Jacob un intégromètre (chap. 10), Ernesto
Pascal crée une école italienne d’intégration
graphomécanique et établit une classification
en 1914 (chap.11), enfin des
constructions approchées reprennent des
idées de V. Riccati.

Les développements fulgurants des ordinateurs
et de l’analyse numérique dans la
seconde moitié du XXe siècle relégueront
tous ces mécanismes dans les vitrines des
musées, mais il est intéressant de les étudier
tant pour leur développement concomitant
à celui du calcul intégral que pour
l’aide qu’ils apportent à une bonne compréhension
de la résolution des équations différentielles.

Cet ouvrage très documenté et agréable à
lire par son style élégant et par la clarté des
figures, gravures anciennes ou constructions
réalisées avec Cabri-Géomètre, intéressera
de nombreux lecteurs : historiens
érudits pour connaître en détail les apports
des Riccati et de toute l’école italienne de
géométrie et en particulier une traduction
inédite d’un texte resté dans l’ombre, mais
aussi enseignants de mathématiques
curieux de constructions dynamiques liées à
des équations différentielles qui y trouveront
une mine d’exemples élémentaires à
étudier en classe ou en TPE et élèves professeurs
souhaitant mieux connaître dans le détail l’histoire de leur discipline.

Ce volume est un nouveau fleuron de la collection
« Sciences dans l’histoire » .

Paul-Louis HENNEQUIN

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