La "réforme des mathématiques modernes" vue par un enseignant "du terrain".

Henri Bareil

Ce texte a été écrit par Henri pour « La gazette des mathématiciens », revue de la Société Mathématique de France. Il a été publié en grande partie dans le n° 54 d’octobre 1992 accessible sur le site de la SMF.

I – UNE LENTE GESTATION

La France connaît, à la Libération, une esquisse de profonde rénovation de l’enseignement  :
- * plan Langevin-Wallon (cependant vite jeté aux oubliettes),
- * « classes nouvelles », espaces de créativité pour les élèves, voulues par G. Monod, puis « lycées-pilotes » (alors de la Sixième au Baccalauréat) regroupés autour de celui de Sèvres et de Mme Hatinguais,
- * mouvements pédagogiques associés, tels les CRAP.

Pour les mathématiques, les « Instructions générales du 1er octobre 1946 » sont d’une telle intelligence quant à leur enseignement qu’elles apparaissent encore aujourd’hui résolument novatrices…
Est-ce dire leur avance sur leur temps ? Ou le peu d’évolution de la France profonde des enseignants de mathématiques ?

Mais, à l’adresse du Second Degré, déferle bientôt une véhémente critique due à un Enseignement supérieur acquis aux grandes structures de l’algèbre linéaire. L’enseignement traditionnel en est tout secoué et vilipendé : les professeurs n’y sont-ils pas des « gardiens de musée, qui montrent des outils poussiéreux dont la plupart n’ont pas d’intérêt » (G.CHOQUET – 1956) ? Or, ceux qui parlent ainsi sont des maîtres éminents, unanimement loués, appréciés. Si leur parole parvient jusqu’à nous, enseignants du Second Degré, nous voilà déstabilisés, bouleversés, avides de nouveaux Évangiles… Pourquoi, par exemple, s’astreindre à une lente mise en place de la géométrie, selon un déroulement « quasi-historique » ? Pourquoi ne pas accéder plus vite aux outils « simples et puissants » d’acquisition récente ?… Ainsi, dans les rangs de l’APMEP notamment, s’amorce, puis s’amplifie peu à peu une remise en question propice à une profonde réforme des contenus.

- Simultanément, les plus lucides contempteurs d’une pédagogie traditionnelle trop exclusivement magistrale, séduits par les pratiques des « classes nouvelles » ou des « lycées-pilotes », souvent encouragés par l’INRP, appellent de leurs voeux un changement de programme… Bouleverser les habitudes ne favorisera-t-il pas le changement souhaité des méthodes d’enseignement ?
- L’APMEP est alors rapidement un foyer de convergence des divers courants. Sous l’impulsion notamment de Gilbert Walusinski, Paul Vissio, André Revuz,… elle s’oblige à penser avec sérieux et résolution —dans l’enthousiasme de découvreurs — les problèmes d’un « enseignement contemporain » des mathématiques… Cela nous vaut de beaux cycles de conférences, des séminaires de réflexion, le prenant « Cours de l’APMEP » de G. et A. Revuz,…
Le Bulletin de l’APMEP propage toutes ces tentatives : la contagion gagne la base des adhérents, avec moins de science mais souvent autant d’enthousiasme.

- La société dans tout cela ? Eh bien, elle pousse à la roue… Un cri d’alarme des « Instructions officielles complémentaires de Janvier 1957 » signale le « grave danger que fait courir à notre pays, sur le plan intellectuel comme sur le plan économique, le manque de plus en plus sensible d’ingénieurs, de chercheurs, de techniciens  » et souligne « l’urgente nécessité d’orienter vers des carrières scientifiques, à des niveaux variés, un nombre croissant de jeunes ». Or, il en va ainsi dans tous les pays développés, en proie à une frénésie de développement économique et technologique exacerbé par l’apparition des Spoutniks (1958)…

Dès lors, les enseignants ne renâclent pas trop devant l’extension de la scolarité obligatoire, la suppression de l’examen d’entrée en Sixième, le regroupement des Cours Complémentaires et des Premiers Cycles de Lycée dans des « CES » (ultérieurement rebaptisés Collèges).
En ceux-ci, on apprend à cohabiter :
- instituteurs de la « voie III », PEGC de la « voie II », certifiés ou agrégés de la « voie I » (filières plus tard supprimées),
- élèves « doués » ou pas, catégories sociales plus mêlées,…
Ainsi apparaît peu à peu un public d’élèves plus « difficile », de plus en plus hétérogène, et qui ne va pas cesser de nous poser des problèmes d’enseignement de plus en plus ardus…
À l’orée de ce bouleversement, vers les années 1958-66, raison de plus, en mathématiques, pour essayer de penser « moderne ».
De penser « moderne » avec force, tant nous sentons alors, enseignants de mathématiques de lycée ou de CES, le prix que la société attache à l’enseignement des mathématiques, passage obligé, croit-on partout, de la révolution technologique ardemment voulue… Les mathématiques étaient déjà, pour les non-latinistes issus des milieux populaires, un moyen de promotion. Désormais, détrônant le latin, elles reçoivent vocation à devenir l’instrument de culture (et de sélection !) par excellence.
Pour satisfaire à cette ambition, quoi de mieux, pensons-nous, que des « mathématiques modernes » où l’universalité des concepts apparaît comme une lumière capable de tout irradier ou comme un inépuisable source d’eau vive… ?

Et les manuels ?
Dès 1946 déjà, les « Compléments » de Deltheil-Caire de géométrie de « math-élem  » abordaient le concept de groupe… Mais, pendant longtemps, il n’y eut pas d’émule dans l’édition scolaire relative au Second Degré…
Vers 1958-60, ce sont des rudiments « naïfs » relatifs aux ensembles et aux relations, surtout du vocabulaire et des symboles, que l’on voit enseigner par quelques professeurs, et cela pareillement de la Sixième aux Terminales…
Des manuels scolaires vont peu à peu prendre le relais avec, en prime, quelques attractions : … machines à changer la forme ou la couleur, … arithmétique modulo 6 avec ses diviseurs de zéro, … plans à nombre fini de points avec leurs surprenantes propriétés, … Ainsi s’éclairent parfois des concepts traditionnels et nous y prenons goût…

UN LEVAIN…

Voilà donc, au fil des ans, un nombre croissant d’enseignants de mathématiques de plus en plus inquiets des contenus traditionnels, de plus en plus tendus vers l’espoir d’un renouvellement…, et de plus en plus solidaires pour prendre ensemble problèmes et espoirs à bras-le-corps…
Parfois avec l’aide de l’INRP ou de CRDP, il se constitue ainsi des équipes APMEP croissantes en nombre et en dynamisme. Beaucoup regroupent des enseignants du Supérieur, du Second Degré, des Écoles Normales, avec parfois des instituteurs…
Ces équipes sont d’abord des lieux d’auto-formation : au langage des ensembles, des relations, aux structures fondamentales, aussi à de nouvelles méthodes d’enseignement. La découverte des divers types « d’enseignement programmé » induit la mise en place de travaux « par fiches »…
Ces « Chantiers » de l’APMEP ne regroupent cependant qu’une minorité, même vers 1964-70, mais quelle minorité agissante, portée par sa foi en les changements espérés et une forte solidarité !
1964-70 : c’est l’époque où l’APMEP s’érige en importante force de proposition pour :
- préparer, par sa « Grande Commission » (1964), des changements fondamentaux de programmes,
- réclamer et définir des lieux de formation continue et de recherche : les IREM…
C’est le temps de la « Charte de Chambéry » née en février 1968…
La presse, les parents, les enseignants des autres disciplines sont saisis des projets, de leurs ambitions aussi optimistes que fortes…
Tout annonce ainsi une imminente réforme d’envergure : elle aura, à la base, son vivier de militants et de formateurs, ceux des « Chantiers » APMEP…

UNE ACCÉLÉRATION RADICALE

Deux événements la provoquent :
- la mise en place, en 1966, d’une « Commission ministérielle », désormais en charge des programmes. Elle est présidée par un « moderne » de choc et de talent, le très charismatique André LICHNÉROWICZ. Son ambition : réformer profondément, et vite, l’enseignement des mathématiques,
- les événements du printemps 1968 et la venue d’Edgar FAURE au ministère de l’Éducation Nationale : ils vont accélérer la mise en place de la réforme et accorder la création des IREM… dès 1969 à raison de 3 ou 4 par an… Comme les IREM se situent d’emblée dans la mouvance Lichnérowicz (Président du « Directoire » des IREM), Revuz (premier Président de l’Assemblée Générale des Directeurs d’IREM), APMEP (par leurs formateurs au moins, du Supérieur ou du Second Degré), ils feront de leur mieux pour soutenir une réforme…

II - LA RÉFORME

Des arrêtés parus de juillet 1968 à mai ou juin 1971, que ce soit pour le Premier Cycle ou pour le Second, définissent de nouveaux programmes. L’arrêté relatif à chaque classe est suivi, peu de mois après, « d’Instructions » très précises et très directives.

EN SIXIÈME-CINQUIÈME

Les nouveaux programmes, émanant de diverses expérimentations d’équipes INRP issues de l’APMEP, amorcent le changement radical, mais sans plus et de façon voilée.
- Nous y constatons des disparitions (dont la pleine signification n’apparaîtra qu’à l’occasion des futurs programmes de 4ème-3ème) :

  • celle des cas d’égalité des triangles (trop « expérimentaux », trop « physiques  », et métriques ! Donc à proscrire selon l’optique de 4ème-3ème). Lourdement frappés d’ostracisme au long des ans, ils deviendront le drapeau d’une anti-réforme, ce qui gênera leur retour éventuel…
  • celle de l’initiation à la démonstration, en 5ème, à partir de propriétés métriques et des figures usuelles de géométrie plane. [Là aussi on verra, deux ans après,le pourquoi de cette table rase].
    On se coupe volontiers de l’amont : ainsi, plus question de division, «  du fait que le quotient de deux décimaux n’est pas toujours un décimal » (il y a là toute une idéologie…).

- Par contre, le programme demande la mise en place d’un langage ensembliste et relationnel avec, notamment, « partitions ; relation d’équivalence associée à une partition ; exemples de relations d’ordre ». On insiste beaucoup, dans les Instructions, sur l’introduction des relatifs par des signes prédicatoires autres que « + » et « - »…
Il est également prévu, en liaison avec «  l’étude du français », celle de « le », « un », « et », « ou », « tout »… (J. DESFORGES l’avait déjà excellemment fait dans un livre de Cinquième de 1938…).

- Encore que typé idéologiquement, le programme reste mesuré en ses propositions… C’est compter sans l’air du temps et le zèle des néophytes qui vont, dans maint manuel, accentuer les nouveautés du programme, théoriser là où il n’est prévu que des exemples, introduire l’implication et l’équivalence logiques, se gargariser de soi-disant cas concrets aux complications parasites (« Un garçon peutil être frère de lui-même ? »,…).
Qu’en résulte-t-il dès la mise en application ?
Essentiellement :

  • d’une part un zèle langagier outrancier, mais associé, le cas échéant, à de faciles diagrammes fléchés,
  • d’autre part une activité encore assez classique, assez déconnectée du langage mis en place à grands frais.

Bref, tout le monde peut « faire avec » :

  • certains professeurs en évitant d’en rajouter,
  • d’autres, sans doute plus nombreux, en épousant tout le zèle langagier dans l’idée qu’il met bien les choses en ordre et que sa rigueur forme bien l’esprit…

C’est d’autant plus vrai pour ceux qui, les changement découverts à la lueur des seuls nouveaux manuels, en ont été d’abord séduits pour eux-mêmes… et ont oublié de les maîtriser avant de les enseigner…
Côté élèves, le programme semble passer d’autant mieux que :
- le vocabulaire est peu réinvesti, alors tant pis s’il n’est qu’un vernis,
- il s’utilise beaucoup de « fiches découpant parcellairement le travail et qui, pour la plupart, demandent alors peu d’efforts… [Exceptons les intelligentes fiches GALION] Fait-on ainsi faire des mathématiques plus qu’auparavant ?
Je ne sais, tant cela dépend du niveau de formation des maîtres et de leur capacité à dominer les sujets. Or, en ces années de mise en place des programmes de 6ème-5ème, il y a peu d’IREM et bientôt les IREM vont être sollicités par d’autres classes.

Quant au vivier des Chantiers APMEP, par IREM interposé ou pas, il a fort à faire :

  • auprès des parents « instruits », inquiets du nouveau langage, du nouveau symbolisme.
    De là, des Chantiers-parents, notamment à Lyon ou Paris, cependant que, hors de l’APMEP, quelques auteurs lancent des « Mathématiques pour maman » puis, un peu plus difficiles ( !) des « Mathématiques pour papa ».
  • auprès d’instituteurs en proie aux mêmes inquiétudes d’autant qu’il est aussi question, chez eux, de langage des ensembles, de diagrammes de Venn, … avec tous les dysfonctionnements de pensée imaginables (exemple : trois enfants ne constituent pas un ensemble, mais ils en formeront un si je mets une corde autout des trois. De même, la liste de mes élèves ne me donne un ensemble que si je l’enferme dans des accolades…).
  • Auprès des collègues, d’autant que le ministère a prévu des séances de concertation inter-établissements…

Le « vivier » n’aura pas le temps d’exercer une influence profonde ; il sera vite kidnappé vers d’autres cieux : second cycle et 4ème-3ème … où il sera mis à rude épreuve.

EN QUATRIÈME-TROISIÈME

À partir de 1969, des expérimentations INRP travaillent sur divers projets (Dumont, Galion, Frenkel,…), chaque fois avec un parti pris de départ favorable… Les réserves fusent vite sur le projet Frenkel… Or, il est le seul retenu, début 1971, par la Commission ministérielle… tant il bâti seul correctement une belle théorie axiomatique, cohérente et « intrinsèque », en géométrie… tant il est le seul à construire et , ce qui a dû sembler le fin du fin à la Commission…
(Or, le projet Galion est plus simple, et le projet Dumont bien plus novateur dans l’optique APMEP. Pour appréhender une vision « moderne » des mathématiques, ce dernier fait appel, non à de savantes constructions de la mathématique, mais à une intense activité de l’élève aussi libre que possible. Il me souvient d’un Bureau de la Régionale APMEP de Toulouse très partagé entre le projet Dumont et un programme plus directif…)
Le programme adopté par la Commission est détaillé par une Annexe et des Instructions associées impératives et très précises… (D’autres annexes sont déclarées possibles. La Commission n’en acceptera que bien après la mise en application des programmes. Aucune ne sera jamais officialisée. Puis, la Commission mourra…)
Ainsi interprété, le programme est l’ambition axiomatique même, et tout y est subordonné à la pureté de constructions trouvant leurs fins en elles-mêmes :

  • on va construire les corps $\mathbb{Q} $ et$\mathbb{R} $ ,
  • on distingue le « plan physique » (pourtant, déjà, du physique modélisé) et le « plan mathématique »,
  • les objets de la géométrie sont définis au sein d’une rigoureuse théorie axiomatique tournée vers l’algèbre linéaire : (axe, droite euclidienne, droite affine le sont par des familles de bijections sur . Les représentations les plus farfelues peuvent ainsi en être données : Le Canard Enchaîné lui-même ne s’en privera pas…)
  • la classe de Quatrième ne connaît que la géométrie affine : pas de métrique du plan, donc ni distance, ni cercle, ni orthogonalité… une structure pauvre sans réelles activités pour élèves,…

Le langage lui-même s’hypertrophie ; par exemple, en 3ème, pour « le cosinus (ou le sinus), indice 180 (ou 200, ou $\pi$) de l’écart angulaire de tel angle géométrique »…
Par contre, la défiance règne quant aux grandeurs : on ne doit travailler que sur des nombres (les « vrais », les « purs »). Des enseignants en viendront à hésiter à écrire, par exemple : « 4 m = 400 cm ». D’autres se verront reprocher un « 5 F x 4 = 20 F ».
[Par opposition, il faut lire la brochure APMEP « MOTS VI » de 1982, et son Algèbre des grandeurs justifiant excellemment des écritures « horribles » telles que $4 cm x 3 cm = 21 cm^{2}$ ou $21 cm^{2 }: 3 cm = 7 cm$ ou 7 kg x 3 F/kg = 21 F…]
Des concepts fondamentaux, tels la proportionnalité ou l’aire, sont passés sous silence…
L’assurance de la Commission ministérielle entraîne celle des auteurs de manuels : ces derniers sont généralement de superbes monuments de théorie-pour-la-théorie, quasi des cours d’Enseignement Supérieur, faisant fi d’une recommandation du programme sur le caractère «  absolument indispensable de nombreuses manipulations » préparatoires…
Les corps d’Inspection eux-mêmes vont le plus souvent s’efforcer d’obtenir une application rigoureuse de ces programmes irréalistes…
Or, comment les dominer pour les appliquer au moindre mal ?
Sauf, peut-être, pour les jeunes générations, la formation mathématique des enseignants, même ceux des « Chantiers » APMEP ou des IREM y est généralement insuffisante.
(Cependant, pour les jeunes enseignants, c’est la capacité à adapter à de jeunes élèves qui fait souvent défaut…)
D’ailleurs, une maîtrise théorique du programme est-elle si facile ? Par exemple, les Instructions officielles de 4ème, après avoir défini les droites comme indiqué, oublient ensuite les familles de bijections à propos de la symétrie centrale !
J’ai aussi le souvenir d’une réunion de la Commission Lichnérowicz, en 1972, examinant un projet (CROZES) de nouvelle Annexe. Il contenait une contradiction interne, apparue à un maître-assistant de Toulouse. Mais, sans le secours d’un maître-assistant de Paris, aucun des membres de la Commission ne voyait de contradiction… Il fallut deux heures de débat,… et bien des propos erronés patiemment rectifiés.
Que va-t-il en être au niveau des élèves ?
Ils vont subir les débordements langagiers (refuge en cas de théories mal dominées), des cours dictés généralement déphasés par rapport aux possibilités, une absence totale d’activité mathématique réelle : la matière mathématique disponible et à leur portée est trop restreinte pour un investissement significatif des outils possibles (symétries, par exemple)…
Tandis que l’ensemble des enseignants de Quatrième, dès la rentrée 1972, s’affole en une houle qui menace de rompre toute digue, les « réformistes », APMEP en tête, voudraient à la fois sauver les ambitions acceptables des programmes et s’assurer de possibilités de les appliquer.
Le Bureau National de l’APMEP prend en novembre l’initiative d’une pétition nationale des professeurs de mathématiques fort modérée, mais jugée totalement iconoclaste par les leaders de la Commission ministérielle et le Doyen d’alors de l’Inspection Générale de mathématiques.

Que demande-t-elle ?
Essentiellement, que l’on se soucie davantage des possibilités des élèves, que l’on desserre les boulons des agencements théoriques, que l’on se préoccupe d’abord de faire faire des mathématiques au lieu de s’obliger à un gavage des élèves les moins rétifs (les autres étant largués…) et des enseignants…
D’abord par Lichnérowicz, puis par le Doyen, cette pétition est finalement entendue (dès qu’elle approche 20 000 signatures, en un mois…). De groupes de travail restreints (où l’APMEP est fortement représentée ès-qualités ou par des animateurs à titre personnel), naît une circulaire officielle, de février 1973, aussitôt diffusée par l’APMEP, au triple objectif :

  • mieux définir l’essentiel à faire acquérir (avec déjà, entre autres textes, un « tableau à deux colonnes »),
  • permettre des élagages théoriques et la pratique « d’îlots déductifs »,
  • insister sur les modes d’appropriation du savoir par les élèves et accorder à ceux-ci tout leur poids dans la triade élève-savoir-professeur.

APRÈS LA CIRCULAIRE DE FÉVRIER 1973

La plupart des manuels scolaires font paraître des versions simplifiées,… les enseignants et les élèves sont un peu plus à l’aise…
Sans plus, car tout n’est pas satisfaisant pour autant :

  • il est toujours fait obligation au maître de disposer d’une axiomatique sous-jacente à son cours, ce qui laisse encore l’accent sur une théorie inadéquate à ce niveau,
  • l’affine reste seul de mise en quatrième avec son paysage mathématique rabougri. On attend toujours la Troisième pour y découvrir l’existence et la pratique de droites perpendiculaires, de distance dans le plan et, donc, de cercles… (encore existe-t-il des cours où cela ne vient qu’en déduction d’un produit scalaire pourtant hors programme !).
  • la Quatrième-Troisième fait ainsi toujours table rase des pratiques antérieures en géométrie… (en étant moins drastique dans le numérique).

AU SECOND CYCLE
Par rapport aux précédents, les nouveaux programmes insistent sur :

  • le vocabulaire ensembliste et relationnel et le « lien avec la logique »,
  • les calculs vectoriel et matriciel en introduisant une dose massive d’algèbre linéaire.

Ici aussi, il y a des excès de manuels (tables de vérité déconnectées de toute illustration, raffinements sur les structures,…), voire des programmes (ainsi pour la distinction entre « Cos » et « cos »…).
Mais, en fait de théorie, le plus dur a été fait au Collège. Les pentes sont maintenant moins raides, les activités possibles plus nombreuses.
De plus, la formation des enseignants est globalement meilleure. Les élèves de Seconde sont dûment triés au sortir de la Troisième. Puis n’entre pas en 1ère C qui veut…
La réforme semble donc mieux acceptée, sans trop de disparités entre les enthousiastes et ceux qui renâclent, d’autant que les enseignants sous-tendent volontiers les abstractions de l’algèbre linéaire par des images mentales de géométrie classique… (ce ne sera rapidement plus possible pour des élèves issus de la réforme…)

III - UNE FOIS LA RÉFORME SUR SES RAILS

Au Collège, les difficultés apparues persistent et l’on se rabat sur du simple calculatoire.
De là, en Troisième, une restriction des « problèmes » à une géométrie pseudo-analytique du type : « Soit un repère orthonormé, les points A (3 ;2),… Calculer les coordonnées de tels vecteurs… En déduire l’orthogonalité de… ou la distance de… ». Cf. les problèmes du BEPC d’alors, à tel point que l’APMEP éditera, un moment, des Contre-Annales pour proposer des sujets d’autres types…
Les IREM s’efforcent de donner partout du sens à l’enseignement mathématique.
Cependant, l’élan initial perdure à la base.
De là, peu à peu, une mise en cause globale de la réforme :

  • par des pères qui n’y reconnaissent pas l’enfant souhaité : dès 1973, CHOQUET fulmine, regrettant « en particulier une attaque contre la géométrie et le recours à l’intuition ; on a dit aux enseignants qu’ils étaient des minables s’ils étudiaient les triangles, que l’algèbre linéaire remplaçait toute l’ancienne géométrie […]. Le résultat est tel que, sans une saine réaction de la base, [… ] la génération actuelle ne… [sera préparée] ni à la recherche mathématique, ni à l’utilisation des mathématiques dans la technique ou les sciences expérimentales…  »
    En 1974, DIEUDONNÉ dénonce une « nouvelle scolastique », « forme encore plus agressive et stupide placée sous la bannière du modernisme ».
    Les équipes APMEP ressentent, à la base, une distorsion entre la réalité et les espoirs antérieurs à 1970.
  • par tous les enseignants d’abord attentifs aux élèves et aux modes d’appropriation du savoir mathématique,
  • par des enseignants « tranquilles », perturbés par les difficultés persistantes, inquiets de la baisse d’activité mathématique réelle,
  • par des adversaires de toujours de la réforme. Ils se sont tus pendant les années d’enthousiasme. Dès 1973 ou 1974, ils partent à l’assaut avec des excès diamétralement opposés à ceux qu’ils dénoncent, mais d’ampleur au moins égale. Ainsi en va-t-il d’une campagne de « Science et Vie »…

La commission Lichnérowicz elle-même reconnaît que les programmes de géométrie de 4ème-3ème ne sont pas satisfaisants. Elle cherche des remèdes dans diverses directions :

  • Certains enseignants préparent de nouvelles axiomatiques. Cet effort culminera, en 1977-78, avec une « super-affine » « du milieu » contre laquelle se dresseront avec vigueur l’Académie des Sciences et l’APMEP, tant elle leur apparaîtra délirante…
  • D’autres, dont je suis (avec Marc FORT,…) essaient, sous la direction de C.Charles PÉROL et avec l’autorisation de la Commission Lichnérowicz, de retourner à une étude du métrique et dans le refus d’une coupure 5ème-4ème. Ce sera la recherche « OPC » conduite, de 1973 à 1978, par des équipes de cinq IREM…

Il y aura ensuite la réforme-compromis de 1978 qui, quant aux contenus, ira un peu plus loin que la circulaire de février 1973, puis le groupe de travail APMEP sur les problématiques au Collège, la COPREM, et la réforme globale cohérente de 1985…
Dans le Second Cycle, les parties les plus contestables (distinction des « Cos » et des « cos »,…) tomberont peu à peu en déshérence et on s’acheminera vers de nouveaux programmes aux alentours de 1980, puis à nouveau de 1987 à 1991… L’algèbre linéaire n’y existera pratiquement plus, du moins quant à son formalisme…

IV – QUE RESTE-T-IL DE NOS AMOURS ?

1- BEAUCOUP DE TENSIONS AMBIVALENTES
- il y a eu, en 1972, une remontée de l’enseignement dogmatique, tendance actuellement en lutte avec des formes d’enseignement plus ouvertes apparues en contrecoup,
- la rigueur mathématique ayant été quasi-divinisée, elle continue à fasciner maint enseignant (y compris des physiciens !). Il y a alors du mal à accepter la relativité, la contingence de toute rigueur, à accepter qu’elle ne soit pour les élèves qu’une acquisition progressive,
- la réforme nous a appris la possibilité de faire bouger les choses et de sortir des conceptions figées des mathématiques et de leur enseignement. Mais les désillusions ont entraîné la méfiance face à de profonds changements. Or, les conditions d’enseignement actuelles en appelleraient…

2- DU FRANCHEMENT NÉGATIF (À MON SENS !)
- une persistante réduction, parfois, de l’activité mathématique à des acquisitions formelles : de « bonnes » définitions, de « bons » théorèmes, un « bon » vocabulaire… Par exemple, les vecteurs [1] sont désormais définis, au Collège, de façon « naïve » efficace. Au lycée il est recommandé de partir de là. Mais des enseignants s’y refusent ou ne s’y résignent qu’à contre-cœur : une définition théorique « rigoureuse » leur semble un préalable nécessaire.
- une confusion « rigueur mathématique-vocabulaire sans polysémie » (ainsi pour « angle ») qui contrarie les simplifications officiellement opérées depuis 1985 et, plus gravement, dévoie souvent la vraie nature d’une activité mathématique,
- des risques de mouvements pendulaires capables d’entraîner des excès inverses à ceux combattus.
Ainsi, par refus d’enseignement « dogmatique », ne risque-t-on pas, (parfois, au Collège ?) d’oublier les nécessaires orientations et synthèses magistrales ?
- une guerre de religion qui s’obstine à opposer les « cas d’isométrie » (encore bannis, au moins jusqu’en 1ère, alors qu’ils ont leur place en 5ème) et les « transformations isométriques ». Or, il s’agit là de deux types d’outils également intéressants, à choisir selon les situations. Pourquoi exiger une exclusivité pour l’un des deux ?

3- DU CARRÉMENT POSITIF (À MON SENS !) y compris grâce aux échecs et à leurs leçons

- une plus grande capacité d’échanges entre collègues et avec les corps d’inspection,
- la multiplication de recherches approfondies sur l’enseignement (didactique de la discipline,…), sur l’évaluation,
- une relativisation du « vrai » et une meilleure perception des conditions d’existence ou de validité de telle ou telle propriété,
- un usage plus libre de monuments historiques, ainsi pour les « constructions à la règle et au compas », et l’intérêt porté à l’évolution historique des concepts, sans s’y assujettir pour autant (cf. d’ailleurs les Instructions de 1946 (!) mais, désormais, leurs recommandations sont comprises !)
- une attention accrue à l’activité propre de l’élève, aux méthodes d’apprentissage, aux possibilités,
- les prises de conscience corrélatives que :

  • la cohérence mathématique ne suffit pas pour fonder un programme et qu’il faut rechercher une adéquation aux élèves avec une continuité absolue tout au long de la scolarité, pour l’amont et pour l’aval,
  • dans le cadre de cette continuité —qui pilote l’ensemble— l’aval n’a pas à dicter le programme d’une classe donnée…,
  • les abstractions et conceptualisations —essence même de l’activité mathématique— ne peuvent advenir efficacement qu’au terme d’un long cheminement, dûment analysé, à travers des situations qui y conduisent, et jamais de façon prématurée.
    - une meilleure approche de l’activité majeure d’un enseignant de mathématiques : en « faire faire », et d’un moyen majeur : centrer sur l’émergence et la résolution de problèmes que les élèves peuvent s’approprier, avec mise en place de méthodes,
    - corrélativement, une définition des « huit moments d’une formation scientifique » (Cf. programmes 1990-91 des lycées) à prendre résolument en compte,
    - une nette distinction entre les activités en classe (aussi « riches et diversifiées que possible » et « un exigible beaucoup plus restreint »),
    - un joyau : les IREM, encore qu’ils soient sans cesse amoindris depuis 1976…, jamais « achevés » pourtant…

Tout cela n’aurait pas été possible, ou ne l’aurait pas été avec la même force sans le mouvement, l’appel d’air ou la tornade créés par la réforme des « mathématiques modernes ».
On lui doit même, grâce à tout ce que j’ai dégagé dans ce §3, de profondes convergences, de la « base » à l’Inspection Générale, en passant par l’APMEP, pour apprécier généralement les programmes actuels :
- quant à leurs contenus,
- quant à leurs objectifs généraux et aux méthodes préconisées…

Paradoxalement, la « réforme des mathématiques modernes » :
- s’est essoufflée sur son domaine : celui des contenus,
- a réussi, alors qu’elle les négligeait, mais par contrecoup, à donner un bel élan aux pédagogies du savoir mathématique…

4 – LA CONSCIENCE DE NÉCESSITÉS, hélas jamais satisfaites

- expérimentation —réellement préalable !— de toute rénovation,
- information complète et motivante des enseignants et de tous les acteurs du système éducatif,
- prise en charge des enseignants, en vue de toute réforme, avant le lancement de celle-ci,
- formation continue approfondie… faute de quoi toute réforme risque de capoter… et ce, d’autant plus qu’elle est plus ambitieuse (que ce soit sur le plan des mathématiques, de la formation en général et scientifique en particulier, ou sur l’ampleur du public visé,…),
- et, d’abord, meilleure préparation au métier d’enseignant (sans se limiter à la formation dans la discipline mais sans négliger pour autant celle-ci) : Cf. I.U.F.M ??

5 - UNE GRANDE ENTREPRISE En fondant l’enseignement des mathématiques sur des activités de résolution de problèmes (Cf. ci-dessus), les nouveaux programmes obligent à repenser la conception même d’une activité mathématique, attrayante autant qu’enrichissante en savoir…, qui ne saurait s’improviser… De quoi être toujours sur la brèche !

D’autant qu’il s’agit d’impliquer le plus grand nombre possible d’élèves en faisant donner à chacun son maximum…

—Toulouse, février 1992—


[1] rappelons que ce texte a été écrit en 1992