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La stabilité en géométrie

Roger Cuppens

Résumé de l’article

Ayant étudié le rôle des dessins dans l’élaboration de la géométrie euclidienne, ce rôle et le fait que cette géométrie ait des applications dans la vie courante impliquent l’idée d’une stabilité des théorèmes géométriques : Si on démontre que des hypothèses entraînent toujours une conclusion, alors on peut penser qu’en modifiant peu les hypothèses, la conclusion est elle-même peu modifiée. La géométrie est passée de la géométrie traditionnelle à la géométrie axiomatique, puis à la géométrie dynamique grâce aux TICE. Mais un logiciel, quelle que soit le précision du dessin qu’il nous fournit, ne donne pas un dessin exact, il peut même fournir un dessin faux. On doit apprendre à conjecturer à partir de valeurs approchées obtenues sur des dessins inexacts des valeurs exactes dans le monde virtuel de la géométrie. L’article continue par quelques théorèmes de stabilité : Si presque "H", alors presque "C" est vrai. (Théorème de Pythagore, cas d’égalité des triangles, droites parallèles, parallélogramme, Thalès). Passant à "stabilité et continuité", il montre qu’on ne peut pas avoir de logiciel totalement déterministe et totalement continu. La stabilité confirme qu’on peut appliquer la géométrie euclidienne à la vie courante. On peut la considérer comme une science physique.

Plan de l’article

  • Introduction
  • I. La géométrie : l’art de raisonner juste sur des figures fausses
  • 2. Quelques théorèmes de stabilité
  • 3. Stabilité et continuité
  • Conclusion
  • Bibliographie

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)