par Denis Butlen.

Collection Didactiques
Mathématiques – Presses universitaires de
Franche-Comté, 2007.

ISBN 978-2-84867-198-7
.
186 pages en 16 × 22. Prix : 20 €.

Cet ouvrage comporte :
 une préface de Gérard Vergnaud ;
 un texte introductif de huit pages ;
 neuf chapitres ;
 une bibliographie de cinq pages ;
 quatre annexes ;
 un glossaire ;
 une postface de Michèle Artigue.

Il s’agit d’un travail universitaire, sous-titré
« Recherches sur l’enseignement des
mathématiques aux élèves en difficulté, du
calcul mental à la résolution de problèmes
numériques ». Les niveaux concernés
englobent l’école élémentaire et les deux
premières années de collège.

Le chapitre I étudie la place du calcul mental
dans les programmes ; il distingue trois
périodes : 1883-1970 : mémorisation et
automaticité ; 1970-1980 (« mathématiques
modernes ») : accent mis sur les propriétés
des opérations ; 1980-2004 :
mémorisation et élaboration de procédures
adaptées. Tous les chapitres ultérieurs
s’inscrivent dans cette dernière conception
du calcul mental.

Les chapitres II et III étudient les procédures
du calcul mental, en insistant sur les
décompositions additives et soustractives
des nombres, et sur la place de l’automaticité.
Ils reposent sur des observations
d’élèves du CP au CM2, le chapitre III s’appuyant
sur l’utilisation d’un environnement
informatique.

Parmi les conclusions
tirées de ces deux chapitres, on peut citer :
la nécessité d’activités spécifiques pour
installer des automatismes adaptables ; la
différenciation des « bons » élèves par la
disponibilité de plusieurs procédures et la
capacité de choix de la mieux adaptée ; la
multiplicité des cheminements cognitifs
chez des élèves différents ; la préférence à
accorder à la présentation de la multiplication
comme « mesure-produit », plutôt que
comme addition itérée.

Les chapitres IV et V étudient les liens
entre techniques opératoires et résolution
de problèmes ; ils reposent sur des expérimentations,
en école élémentaire,
d’« ingénieries » originales, avec comparaison
avec des classes-témoins ; celles-ci
confirment qu’une pratique régulière du calcul
mental contribue à accroître les capacités
d’adaptation et d’initiative ; cependant
cet impact n’est pas uniforme, dépendant
des individus et des types de problèmes.

Dans les chapitres II à V, le cas particulier
des élèves en difficulté n’est examiné
qu’après analyse de la situation pour les
élèves standard.

Les chapitres VI à VIII, au
contraire, leur sont presque entièrement
consacrés. Leurs difficultés sont analysées,
non en termes de cause, mais en termes de
manifestations : manque de perception des
enjeux, manque d’adaptabilité, attachement
aux algorithmes, incapacité de décontextualisation,
… La pratique régulière du
calcul mental est reconnue comme insuffisante
en tant que remédiation, et doit être
couplée à d’autres activités spécifiques.
D’où des expérimentations, dont l’une sur
quatre classes et sur deux ans, de CM2 à
Cinquième, en ZEP, visant à améliorer les
performances ; les séances régulières de
calcul mental, avec explicitation des procédures,
y sont complétées par des « bilans
de savoirs » sous la forme de débats suivis
d’écrits collectifs. L’analyse des résultats
évoque une efficacité certaine, mais non
radicale, chez les élèves en difficulté
moyenne, mais l’échec devant les grandes
difficultés cumulées par certains.

Les 20 pages d’annexes fournissent un grand nombre de questions et exercices utilisés
dans les différentes expérimentations.

Les caractéristiques de cet ouvrage sont la
rigueur scientifique, la prudence et la
modestie concernant les résultats des expérimentations,
alors même qu’elles sont
indéniablement « globalement positives
 ».

Conformément aux saines habitudes
universitaires, chaque chapitre commence
par l’annonce de ce qui va être traité,
la définition du vocabulaire, l’exposé de la
méthodologie, et se termine par une brève
analyse statistique des résultats. Ces
contraintes rendent sa lecture un peu moins
reposante que celle d’un roman ; mais il
reste néanmoins à la portée de tout enseignant,
même dépourvu de formation en
didactique : tout jargon est évité, et les
quelques termes spécifiques sont définis
dans le glossaire.

Il devrait intéresser au
premier chef tous les professeurs des écoles
et de collège, ainsi que leurs formateurs, car
il leur permettra, dans le domaine du calcul
et de la résolution de problèmes, de comparer
les performances de leurs classes avec
celles étudiées ici, de confronter leurs pratiques
à celles préconisées par D. Butlen, de
trouver de multiples idées d’exercices et de
questions d’évaluation.

Au-delà, et quel que
soit le niveau auquel on enseigne, il apporte
des réponses partielles à une question qui
nous hante tous : que se passe-t-il dans la
tête des élèves « faibles » ? À tous les
niveaux, la difficulté à généraliser, à décontextualiser,
me semble être présente, et le
principe d’y remédier par l’instauration
d’étapes intermédiaires, être adaptable.

Cette lecture sera donc profitable à chacun
des lecteurs de notre bulletin.

Sur le plan des imperfections, je signalerai
deux défauts de conception, minimes : le
texte introductif n’est pas signalé dans le
sommaire ; et l’annexe 1 est redondante,
puisqu’elle ne contient que des figures déjà
présentes dans le texte ; ainsi qu’une question
de fond, qui n’est que vaguement
posée : dans le dispositif associant séances
de calcul mental et bilans de savoirs, quelle
part d’efficacité attribuer à chacun des
termes ? La pratique des bilans ne pourrait-elle
pas porter sur de tout autres types
d’exercices ?

Marc ROUX