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Le carré naturel – Problèmes et jeux.

par
René Descombes.

Éditions Nuvis, 2011.

424 pages en 15 X 24.

ISBN : 978-2-36367-005-2. Prix : 32 €.

L’auteur appelle « carré naturel » un tableau
carré n x n contenant, dans l’ordre, les entiers
de 1 à $n^2$. L’essentiel de l’ouvrage repose sur
les permutations de ces nombres, avec des digressions et extensions ; les carrés
magiques y ont une place privilégiée. Il comprend
 :
 Préface de Jean-François Phelizon.
 Avant-propos.
 I. Présentation et propriétés du carré naturel.
 II. Jeux et problèmes du carré naturel.
 III. Construction des carrés magiques avec
le carré naturel.
 Classement des Jeux et Problèmes.
 Classement des méthodes de construction
des carrés magiques.
 Bibliographie.

L’ouvrage est illustré en noir et en couleurs :
œuvres de Hannes Bürgel, de l’auteur, photographies,
portraits de savants, …

Chacune des parties I, II, III est un vaste
catalogue :
 I, un catalogue de propriétés, sans démonstration,
constatées sur des exemples et généralisées
 ;
 II, un catalogue de plus de cent casse-tête,
petits problèmes et autres jeux à un, deux ou
plusieurs joueurs, avec de multiples
variantes, des exemples de parties, des
recherches de stratégies ; plusieurs utilisent
les polyminos ; nombre d’entre eux n’ont
qu’un rapport lointain avec le carré naturel :
il s’agit de jeux de pions sur un tableau
carré : dames, morpion, … ; d’autres s’y
réfèrent plus étroitement : Sudoku, Taquin,
… ;
 III, un catalogue de méthodes de construction
de carrés magiques, avec, pour certaines,
dénombrement des solutions obtenues.

Dans les trois parties, on trouve de nombreuses
références bibliographiques et historiques
 ; les plus anciens des jeux ou
méthodes présentés remontent à 4000 ans,
les plus récents à moins de 5 ans. Parmi les
sources, on remarque Tangente, l’Ouvert, les
problème du « Monde », …

Le lecteur habitué à la rigueur mathématique
sera frustré par l’absence de démonstrations,
et irrité par un nombre important de
coquilles, parfois gênantes (= au lieu de +),
erreurs (confusion de $ -n^2$ avec $(-n)^2$, …),
énormes tableaux rébarbatifs, mais surtout
par un langage imprécis, voire incorrect
(« permutation » employé au sens restrictif
de transposition de deux termes ; « inversion
 » pour symétrie, « facteur » pour terme,
…) ; on ne sait pas toujours si les entiers
considérés sont relatifs ou naturels ; des
termes nouveaux sont introduits sans définition
(« diagonale brisée », « carré hétéromagique
 », …) ; des questions d’unicité ou
d’exhaustivité sont allègrement escamotées…

L’auteur, ingénieur retraité, semble
n’avoir qu’un souvenir fort vague de ses
années de « prépa ».

Cependant son texte est potentiellement
riche sur le plan pédagogique : d’une part la
variété des jeux, qui tous demandent
réflexion, logique et concentration, ne peut
que satisfaire les adeptes d’une pédagogie
ludique ; certains ont un contenu mathématique,
plus ou moins caché (pratique des
quatre opérations, arithmétique, dénombrement,
et même décomposition de permutations
en transpositions). D’autre part la
recherche de démonstrations des propriétés
présentées ici peut constituer une source
d’exercices et problèmes de tous niveaux, du
collège aux classes préparatoires.

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