par Florence Messineo.

Ellipses, 2015.

334 pages en 19 x24. Prix : 16 €.

ISBN : 9782340-008120

Ce livre veut être « une promenade ludique »
parmi les objets fractals, considérés quasi-exclusivement
sous l’angle de constructions
étape par étape. Précédés de brefs Avant-propos,
Préambule et Introduction, ses dix-huit
chapitres ont pour titres : La côte de
Bretagne, Les courbes de Von Koch, Le
codage des courbes, À propos de dimension
fractale, Les flocons de Von Koch, Les napperons
de Sierpinski, Les courbes de Gosper,
Les fonctions itérées et les attracteurs de
familles de contractions, Un peu de botanique,
Les courbes de Peano, Les courbes de
Hilbert, Les poussières de Cantor, Les suites
de Fibonacci et de Stern, Le nombre d’or,
Jouer avec les suites infinies de radicaux et
les fractions continuées, La suite de Prouhet
Thue Morse, Les dragons de Heighway et de
Levy, Toutes sortes de pavages.

Ils sont suivies
d’Annexes consistantes (démonstrations
de propriétés) et d’une brève Bibliographie.

De nombreux dessins en noir et blanc et seize
pages hors-texte en couleurs illustrent le propos.

Les livres sur les fractals sont légion ; visant
un public attiré par l’aspect esthétique et
intriguant de ceux-ci, ils reprennent souvent
les mêmes exemples. Celui-ci ne fait pas
exception, mais il ajoute quelques notions
qui ne sont pas toujours mises en relation
avec ce domaine : suite de Fibonacci,
nombre d’or, fractions continuées, pavages ,
..., et aussi des choses moins connues : suite
de Stern, les Kolams, ... Il incite le lecteur à
l’activité de construction, et à ce titre peut
être source d’activités scolaires, du collège
au lycée. Les démonstrations de certaines
propriétés, données dans les annexes, sont
également abordables par des lycéens.

Par contre je ne peux pas passer sous silence
de graves défauts concernant la rigueur de la
rédaction : il n’est jamais dit que l’objet fractal
n’est pas la figure construite, mais bien la
limite de celle-ci quand le nombre d’étapes
tend vers l’infini ; aucune distinction n’est
faite entre valeur exacte et valeur approchée
(« 1,6 , ce nombre est le nombre d’or », page
124) ; la définition d’« homothétie » donnée
page 12 est fausse ; page 18, 4/37 doit se lire
$(4/3)^7$ ; le mot « compacité » est employé à
tort et à travers (page 68) ; pour les fractales
qui recouvrent le plan (ou une partie du
plan), il n’est jamais prouvé que tout point
peut être atteint, et il n’est même pas dit qu’il
faudrait le prouver ; pour l’auteur, dès qu’une
orbite est portée par une droite, cette orbite
est une droite. De plus certains dessins sont
défectueux (raccordements imparfaits, défaut
de symétrie) ; la rédaction, souvent maladroite,
rend compliqué ce qui est simple (l’histoire des lapins de Fibonacci étirée sur 9
pages) ; elle franchit allègrement les bornes
du charabia : « l’ensemble des nombres réels
contient une infinité plus d’éléments que
celui des nombres entiers » (page 142), et
contient plusieurs authentiques erreurs (par
exemple page 239 : lire « rapport $ \sqrt{2}\over 2$, angle
+ ou – 45° », au lieu de $\sqrt{2}$, + ou - 90°).

Ces insuffisances m’incitent à déconseiller
de mettre cet ouvrage directement entre les
mains d’élèves. Par contre il pourra suggérer
de nombreuses idées d’activités aux enseignants,
qui prendront soin de re-rédiger les
énoncés avec plus de rigueur.
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