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Le paradoxe de BANACH-TARSKI

Henri Bareil

par Marc GUINOT.

Éd. Aléas. « Nouvelle version revue, corrigée et recomposée », février 2000.

136 pages en 14 × 21.

ISBN 2-908016-08.

Prix : 15,24 € .

• À quelques très rares exceptions (quelques notations plus homogènes, un lapsus de définition rectifié, une ou deux précautions de plus, …) près, cet ouvrage reprend d’abord l’édition initiale. Mais avec un caractère typographique plus grand (et moins gras), ce qui augmente le nombre de pages en dépit d’un texte plus serré.
« L’Appendice IV » de la première édition semble avoir disparu. Il n’en est rien. Le voilà intégré, « en grande parenthèse », dans l’Appendice III.
Cela n’enlève rien aux mérites de l’ouvrage ! Pourquoi aurait-on changé un texte alerte, bien composé, fort documenté ? Aux 107 pages de la première édition ainsi reprises en 114, l’auteur ajoute cependant, cette fois, une POSTFACE de 7 pages des plus intéressantes pour préciser encore, prolonger, …

• Rappelons, avec quelques lignes de l’INTRODUCTION des deux éditions, une formulation « grand public » du paradoxe de Banach-Tarski : « Il est possible, par exemple, de découper un petit pois en un nombre fini de morceaux, puis de réarranger ceux-ci sans les déformer, de façon à reconstituer […] deux petits pois de la même grosseur que le premier […] ou, si l’on préfère, une balle de ping-pong […], voire même, si on en a l’usage, une boule de la taille de la Terre ou du Soleil ». Et il est ainsi souvent question de la grenouille qui peut se faire bœuf…
Marc Guinot traite logiquement d’abord de découpages et équidécomposabilités, de groupes et ensembles dédoublables. Il est ensuite beaucoup question de l’axiome du choix (indispensable ou non ?), de la mesure (existe-t-il des mesures « universelles » ?) et l’on fait beaucoup de mathématiques (sur les groupes, les isométries, les fondements d’algèbre linéaire, … ou avec Borel et Lebesgue … aussi bien qu’avec Hausdorff, Banach …).
Rasurons-nous toutefois : « Dans le plan $\mathbb R^2$, il existe une mesure µuniverselle… ».
Un frisson : « … sauf si … En particulier, pour une telle mesure $\mu$, on a $\mu(D)=\pi r^2$ pour tout disque D de rayon r »… … C’était avant la postface ! Celle-ci nous plonge dans d’autres abîmes … que je vous laisse découvrir !

Un livre passionnant … sur des aspects déroutants de belles mathématiques !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)