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Les carrés magiques du Lo Shu au Sudoku.

par Arno van den Essen.

Belin, 2011.

222 pages 14,5x22,5.

ISBN : 978-2-7011-5554-8, 19 €.

Écrite par un universitaire néerlandais, cette
histoire et étude mathématique des carrés
magiques et carrés latins, entre un Avant-propos
et 35 pages d’Annexes, Bibliographie et
Index, se compose de 11 chapitres :

  • 1. Le Lo Shu.
  • 2. Le carré du temple de Khajuraho.
  • 3. un mathématicien de génie.
  • 4. Les carrés latins.
  • 5. La conjecture d’Euler.
  • 6. Des carrés de plus en plus magiques.
  • 7. Le retour du Lo Shu.
  • 8. un prix pour une énigme.
  • 9. Le Saint Graal.
  • 10. Le mystère Franklin.
  • 11. Les sudokus.

L’ouvrage s’adresse à un lecteur sans
connaissance mathématique préalable ; on
trouve néanmoins dans le texte certaines
démonstrations, claires, rigoureuses et
convaincantes ; d’autres, moins élémentaires
mais toujours très lisibles, sont reportées
dans les Annexes. Pour des développements
plus poussés on est renvoyé au site
www.math.ru.nl/lo_shu_tot_sudoku (accueil
en néerlandais, documents en anglais).

L’auteur nous convie à une promenade chronologique,
du premier carré magique d’ordre
3, le Lo Shu (Chine, vers 2800 av. J.C.) jusqu’aux
découvertes les plus récentes, auxquelles
il a personnellement contribué, telles
la NP-complétude du sudoku, ainsi qu’aux
questions encore ouvertes. Il nous présente,
et situe dans leur contexte historique, les
apports de nombreux savants, tels Lucas,
Benjamin Franklin, et surtout Euler, dont la
biographie occupe tout le chapitre 3. C’est
l’occasion de quelques digressions historico-mathématiques
fort intéressantes. Les rapports
entre carrés magiques, carrés latins,
sudokus, marche du cavalier, triplets pythagoriciens,
sont clairement expliqués. L’intervention
de mathématiques de haut niveau est
évoquée : ainsi l’auteur et deux autres chercheurs
ont utilisé l’algèbre linéaire et les
corps finis pour prouver, en 2005, que pour
tout entier n il existe un carré n-multimagique
(c’est-à-dire tel que les carrés formés
par les puissances 2èmes, 3èmes, …, n-èmes
de ses nombres sont tous magiques).

Les quelques réserves à apporter à ce beau
travail concernent plutôt la traduction française
 : d’une part on peut être agacé de, trop
souvent, lire « chiffre » à la place de
« nombre » ; mais surtout la bibliographie ne
renvoie qu’à des ouvrages en anglais, alors
que, par exemple, le livre de Maurice
Kraitchik cité p. 67 existe en édition française de 1930 chez Vuibert (La mathématique
des jeux ou récréations mathématiques
). Il
contient un chapitre de 100 pages sur les carrés
magiques et un autre de 80 sur le problème
du cavalier ; il a servi de point de départ
à l’abondante littérature sur les jeux mathématiques
développée depuis plus de quarante
ans en particulier dans les Irems et à
l’APMEP ; APMEP qui a elle-même publié
deux brochures sur ce sujet : « Les carrés
magiques
 » (Glaymann, Belouze, Haug,
Herz) n° 010, 1975, et, en coédition avec
Vuibert « Les carrés magiques » (Descombes)
n° 905, 2000.

On peut aussi regretter que les applications
concrètes des carrés latins orthogonaux (ou
carrés gréco-latins), citées page 56, ne soient
pas explicitées un minimum, au moins dans
leur principe.

Il s’agit néanmoins d’une excellente et riche
contribution à la culture mathématique.

Marc ROUX avec la contribution
de Paul-Louis HENNEQUIN

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