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Les fonctions spéciales vues par les problèmes

par Roland Groux et Philippe
Soulat.

Éditions Cépaduès, 2009 – Collection
Pratiques mathématiques.

326 pages en 14,5 × 20,5.

ISBN : 978-2-85428-898-8.

D’après le Dictionnaire des mathématiques
d’A. Bouvier, M. George et F. Le Lionnais,
le terme « fonctions spéciales » désigne de
façon imprécise des fonctions solutions
d’équations fonctionnelles ou d’équations
différentielles. Un grand nombre de ces
fonctions ont reçu un nom, et sont intégrées
à des logiciels de calcul formel. Le
projet de R. Groux et Ph. Soulat est de permettre
aux étudiants de L3, Master, CAPES
et Agrégation de découvrir les principales
d’entre elles.
Mais pour cela un solide
bagage de connaissances est nécessaire ;
c’est pourquoi un copieux chapitre 1 (un
tiers du volume) présente les outils de
base
 : Séries de Fourier, Développement
eulérien du sinus, Théorème de Cauchy-
Lipschitz, Problème de Sturm-Liouville,
Séries entières, Fonctions holomorphes,
Théorème des résidus, Transformée de
Laplace. Puis vient un catalogue de fonctions,
dont certaines au nom familier,
réparties en quatre familles :
 Chapitre 2 : Fonctions Eulériennes :
Fonction Gamma, Fonction digamma,
Fonction Bêta, Fonction Zêta, Fonction de
Lerch, Séries de Dirichlet ;
 Chapitre 3 : Fonctions hypergéométriques
 : Fonctions de Bessel, Fonctions
de Hankel, Équation hypergéométrique,
Fonctions hypergéométriques, Fonctions
d’Airy ;
 Chapitre 4 : Polylogarithmes et fonctions
intégrales
 : Dilogarithme, Formule de
Simon Plouffe, Exponentielle intégrale,
Sinus et cosinus intégral, Nombres géoharmoniques,
Logarithme intégral, Fonction
d’erreur Erf ;
 Chapitre 5 : Fonctions elliptiques :
Définition intégrale du sinus, Fonctions
elliptiques de Jacobi, Fonction de
Weierstrass.

Comme l’indique le titre de l’ouvrage, ces
notions, y compris les pré-requis du chapitre
1, sont introduites sous forme de problèmes.
Problèmes de facture classique,
souvent en deux à quatre parties, qui aboutissent
aux démonstrations de propriétés et
théorèmes ; en général chaque partie correspond
à une détermination différente de la
fonction étudiée : intégrale, série, produit
infini, solution d’équation différentielle.

Les enchaînements de questions sont soignés,
les premières étant toujours d’une
difficulté limitée qui permet à quiconque
d’entrer dans le sujet. Souvent, la fonction
est d’abord définie sur $\mathbb{R}$ , puis prolongée à
$\mathbb{C}$. À signaler quelques exceptions : les
sous chapitres 1.7, 4.4 et 4.6 ne sont pas
des problèmes, on y trouve directement les
résultats ; 4.5 et 4.2 ne sont pas des études
de fonctions. L’ordre des chapitres et sous-chapitres
ne doit, lui non plus, rien au
hasard, et les renvois de l’un à l’autre sont
fréquents.

Les corrigés sont rigoureux et complets
concernant les questions délicates, mais
quelque peu elliptiques dès qu’il s’agit de
calculs classiques, même compliqués ; une
certaine virtuosité du lecteur est requise,
ainsi que sa parfaite maîtrise des programmes
des premières années d’études. Le
style est austère, bien dans l’esprit des
sujets de concours ; les premières questions
n’indiquent que rarement « où on va », et ce
n’est qu’a posteriori qu’on atteint une vue
d’ensemble ; on ne trouve ni conseils de
méthode, ni signalements de risques d’erreur
 ; l’origine de certaines dénominations
(« fonction d’erreur », « fonction elliptique
 ») n’est pas explicitée.

Néanmoins le souci culturel n’est pas
absent, car, sauf pour le chapitre 1, on trouve
en fin de corrigé (ou parfois à l’intérieur
de l’énoncé) des compléments : brèves
notes historiques, généralisations et prolongements
avec ou sans démonstrations,
état des lieux sur des conjectures encore
ouvertes (zéros de la fonction Zêta de
Riemann), applications à la physique
(fonctions d’Airy et sismologie), évocation
rapide de la théorie générale des fonctions
elliptiques (dont seuls deux exemples
sont étudiés). À noter que les résultats
démontrés sont parfois récents (formule de
Simon Plouffe : 1995 ; il s’agit d’une détermination
de $\pi$ comme somme d’une série à
convergence rapide, qui permet d’en trouver
directement la n-ième décimale en base
16). On peut néanmoins s’étonner de l’absence,
à propos des fonctions et courbes
elliptiques, de toute allusion à leur rôle en
arithmétique, et dans la démonstration du
théorème de Fermat-Wiles. Des indications
sont données sur la syntaxe de Maple
concernant ces fonctions, et des courbes
réalisées avec ce logiciel sont incluses.

On notera quelques défauts de réalisation,
qui ne sont pas vraiment gênants : numérotation
et titres du sommaire non repris dans
le corps du texte ; parfois numérotation différente
des questions dans l’énoncé et le
corrigé ; quelques coquilles.

Ce livre est riche et dense ; son intérêt
majeur est de permettre de cumuler dans un
même temps l’entraînement à la résolution
de problèmes et l’acquisition de connaissances
nouvelles ; il est nettement tourné
vers l’application de techniques (et la
recherche de la « bonne » technique), et
donc vers la préparation d’examens et
concours. Mais il sera également un ouvrage
de référence pour qui s’intéresse plus
particulièrement à l’une ou l’autre des
familles de fonctions « spéciales », pour
qui veut dépasser le stade de la vulgarisation
à propos de certains développements
récents des mathématiques.

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