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Les polyèdre réguliers, pseudo-réguliers, ou semi-réguliers, et leur coloration.

- 10 novembre 2009 -

par Joseph Chacron.
Éditions scientifiques de l’art - 52 rue Cozette - 80000 Amiens.
88 pages au format A4.
Pas de no ISBN

Joliment illustrée en couleurs, cette brochure se compose d’une introduction et de cinq chapitres :
- Dans le premier, l’auteur définit les angles solides, les polytopes, les polyèdres réguliers, pseudo-réguliers, semi-réguliers ; il en établit rigoureusement des propriétés élémentaires ; enfin il en dresse une liste, dont il conjecture qu’elle est exhaustive.
- Dans le chapitre 2, il définit les colorations, l’indice chromatique et l’indice chromatique connexe, et établit des propositions qui permettent de les minorer.
- Dans les chapitres 3 et 4 il passe en revue les polyèdres du chapitre 1, et pour chacun d’eux il établit ses indices.
- Dans le dernier chapitre, il énonce la conjecture polyédrique des quatre couleurs, et classifie les polyèdres par nombre chromatique.

Après « Trois méthodes mathématiques en peinture ou en poésie », recensé dans le bulletin n° 453, J. Chacron, qui est aussi artiste et poète, nous livre ici un authentique travail de mathématicien, d’une grande rigueur et d’une grande clarté. Le vocabulaire n’est pas toujours en parfait accord avec certains dictionnaires de Mathématiques (par exemple, pour J. Chacron, un polyèdre peut être non borné), mais les définitions sont précises et cohérentes, les démonstrations parfaitement convaincantes.
Il y a donc ici matière à satisfaire sa curiosité mathématique ; à l’aiguillonner aussi, puisque plusieurs conjectures s’offrent à la sagacité des lecteurs (qui pourront peut-être aussi rechercher des méthodes plus simples pour certaines démonstrations).

De plus cet ouvrage peut suggérer des idées d’exercices et activités scolaires, dans les deux domaines de la géométrie dans l’espace et des dénombrements, selon le schéma expérimentation (maquette) – conjecture – démonstration.

Petits regrets : pourquoi, page 20, ne pas remplacer $ 4 sin ^{2} (\frac {\pi} {3 })- 1 $ par sa valeur, qui est 2 ? Et, dans les chapitres 3 et 4, au lieu de répéter «  une coloration qui malheureusement ne peut pas être explicitée par l’illustration, mais qui est très facilement vérifiable sur la maquette », pourquoi ne pas fournir un patron de chaque polyèdre ? Marc ROUX