par
Gilbert Arsac et Michel Mante.

Collection
Repères pour agir, série Disciplines –
Scéren - CRDP de l’académie de Lyon –
2007.

ISBN : 978-2-86625-334-9.

198 pages en 15 × 21. Prix : 14€.

Les Propos liminaires nous rappellent que depuis 1984 l’IREM de Lyon travaille sur
les « problèmes ouverts ». Une brochure
parue en 1988 étant épuisée, le présent
ouvrage en reprend le contenu, augmenté
des résultats de vingt ans de travaux et d’expérimentations.

L’Introduction rappelle la place des résolutions
de problèmes dans les mathématiques
 : essentielle, mais non exclusive
puisque elles débouchent naturellement sur
des théories unificatrices. Tandis que les
Situations-problèmes visent la découverte
et la systématisation de méthodes, la pratique
du Problème ouvert concerne la résolution
de problèmes un par un, selon la
démarche Essayer-Conjecturer-Tester-
Prouver. Les élèves sont placés dans la
position du chercheur en mathématiques.
D’abord expérimentée en collège, cette
pratique s’est répandue à l’école primaire,
au lycée, ainsi qu’en formation des maîtres.

La première partie, Généralités, rassemble
sept chapitres. Après une définition précise
du problème ouvert (énoncé court, qui
n’induit ni méthode ni solution, sans questions
intermédiaires, ne se réduisant pas à
l’application du cours récent, mais appartenant
à un domaine conceptuel familier aux
élèves), on trouve quelques premiers
exemples, et les condition pratiques de
mise en œuvre : travail en classe, recherche
par petits groupes, suivie d’un débat. La
gestion de la classe occupe un chapitre
entier, les instructions ou conseils donnés
sont très précis. Un exemple de déroulement
est narré et commenté de façon très
détaillée. Sont étudiés soigneusement les
critères de choix d’un énoncé, puis les
effets de cette pratique sur les élèves d’une
part, sur notre enseignement d’autre part.
Enfin le chapitre 7 montre que le problème
ouvert et la situation-problème ne sont ni
identiques ni antagoniques, mais complémentaires
car n’ayant pas les mêmes buts.

Dans la deuxième partie, Le problème
ouvert à différents niveaux d’enseignement,
on trouve huit rapports d’expérimentations
en collège, un rapprochement avec
la Narration de recherche (qui fait explicitement
référence à la brochure APMEP/IREM
de Montpellier), des exemples de problèmes
ouverts à l’école primaire (élémentaire
et même maternelle), en SEGPA, ainsi
qu’en formation des maîtres (IUFM), où ils
jouent un double rôle : formation mathématique
et formation professionnelle. Le chapitre
12 traite de la pratique, en lycée, du
« problème long », voisin du problème
ouvert mais qui en diffère du fait que la
recherche se fait surtout à la maison.

La troisième partie, «  D’autres problèmes
ouverts », fournit de nombreux énoncés,
classés par niveaux : 20 pour l’école élémentaire,
32 pour le collège, 9 pour le
lycée.

De nombreux chapitres, ainsi que l’introduction,
incluent une bibliographie.

L’ensemble de cet ouvrage est très proche
du quotidien de l’enseignant (retranscription
de dialogues, reproductions de copies
d’élèves, …). Les réactions des élèves sont
décrites et même classifiées ; les difficultés
d’adaptation des enseignants sont anticipées.
Tout collègue voulant se lancer dans
les problèmes ouverts peut choisir un
énoncé parmi ceux fournis, suivre à la lettre
les prescriptions de gestion de classe, il se
sentira « pris par la main », et trouvera la
réponse à ses questions. Certains ressentiront
peut-être un excès de directivité, une
certaine rigidité, qu’il leur appartiendra
d’assouplir au fur et à mesure de l’acquisition
d’expérience.

Une lacune de ce travail est l’absence de
toute évaluation objective de l’efficacité du
dispositif, tant sur le plan des progrès individuels
que sur le plan statistique des performances
des classes. Mais il est clair
qu’une telle évaluation ne saurait être le fait
des expérimentateurs eux-mêmes.

À noter que nulle part n’est évoquée une utilisation
du problème ouvert à des fins
d’évaluation. Cependant l’introduction
dans les sujets de baccalauréat d’un exercice
où sont prises en compte prises d’initiative,
essais inaboutis, solutions partielles,
introduction préconisée par l’APMEP et
timidement mise en œuvre dans les faits, doit être vue comme une valorisation des
qualités développées par la pratique des
problèmes ouverts, et donc comme une
incitation à cette pratique.

Un grand bravo à l’équipe de l’IREM de
Lyon pour cet outil concret et pratique de
progrès dans l’enseignement des mathématiques.

Marc ROUX