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Les problèmes du bulletin vert

Et solution du problème n°287

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 287 (Pierre SAMUEL, 92-Bourg la Reine)
À tout polynôme $P(w) = aw^2 + 2bw + c \ \ \ (a, b, c \in \mathbb Z, a > 0, 0 ≤ b < a)$ on associe l’équation : $x^2 − ay^2 = b^2 − ac$.

1 – Toute équation (E) : $x^2 − ay^2 = k \ \ \ (a, k \in \mathbb Z, a > 0)$ est-elle associée à des polynômes P(w) et à combien (commencer par le cas où a est premier avec k) ?

2 – Quelles relations y a-t-il entre les solutions entières (x, y) de (E) et les valeurs carrées $y^2 = P(w) (y, w \in \mathbb Z)$ des polynômes qui lui sont associés ?

3 – Y a-t-il unicité du polynôme P(w) et de l’entier w (tel que $y^2 = P(w)$) fournissant une solution entière donnée (x, y) de (E) ?
Donner des exemples :
a) où k est un carré modulo a, mais où (E) n’a pas de solutions entières ;
b) où tous les polynômes auxquels (E) est associée fournissent des solutions entières de (E) ;
c) où ces solutions ne proviennent que de certains de ces polynômes.

Solution

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)