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Limites, applications continues, espaces complets – Introduction à la topologie

par
Daniel Sondaz, avec la participation de
Rémi Morvan.

Éditions Cépaduès, 2010 – Collection
Bien maîtriser les Mathématiques.

138 pages en 14,5 × 20,5.

ISBN : 978-2-85428-925-1.

La présente collection s’adresse aux étudiants
de L3, master, écoles d’ingénieur,
CAPES, agrégation. Comme « Bien débuter…
 », elle rassemble des recueils d’exercices
corrigés regroupés par chapitres et
précédés de rappels de cours, agrémentés de
notices biographiques. Celui-ci fait suite à
« Introduction à la topologie : espaces
topologiques, métriques, normés » (mêmes
auteurs), d’où la présence d’un premier chapitre
« Prérequis » (8 pages) sans exercice,
mais permettant l’usage indépendant de ce
volume.

Les autres chapitres ont pour titres :
« Limites et continuité dans les espaces
topologiques » ; « Limites et continuité
dans les espaces métriques » ; « Limites et
continuité dans les espaces normés » ;
« Espaces métriques complets ». Dans chacun
d’entre eux, les rappels de cours sont à
la fois condensés et suffisants, avec
exemples et avertissements sur les erreurs
fréquentes.

Les exercices, dans chaque chapitre, sont
de difficulté croissante, du très facile au
plus « pointu ». Dans les chapitres 2 et 3,
ils sont répartis en deux rubriques : cas particuliers
classiques, espaces généraux. Bon
nombre d’entre eux consistent en la
démonstration de résultats classiques, faisant
partie du cours ou prolongeant celui-ci.
Ils sont organisés de façon réfléchie, se
renvoyant de l’un à l’autre, se complétant
pour construire par généralisations successives
un savoir cohérent. Quelques-uns des
corrigés proposent deux méthodes pour une
même question ; les questions « ouvertes »
de recherche d’exemples sont fréquentes.
Le dernier chapitre (espaces complets et de
Banach) est nettement plus copieux que les
autres : 23 exercices, les derniers étant de
véritables problèmes en deux parties et
plus de dix questions ; on y remarque plusieurs
applications du théorème du point
fixe à des déterminations d’approximations
et résolutions approchées d’équations
différentielles.

Voici donc encore un beau travail, soigné
(malgré quelques coquilles), efficace, à
conseiller.

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