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Limites, applications continues, espaces complets – Introduction à la topologie

Marc Roux

- 3 juillet 2010 -

par Daniel Sondaz, avec la participation de Rémi Morvan.

Éditions Cépaduès, 2010 – Collection Bien maîtriser les Mathématiques.

138 pages en 14,5 × 20,5.

ISBN : 978-2-85428-925-1.

La présente collection s’adresse aux étudiants de L3, master, écoles d’ingénieur, CAPES, agrégation. Comme « Bien débuter…  », elle rassemble des recueils d’exercices corrigés regroupés par chapitres et précédés de rappels de cours, agrémentés de notices biographiques. Celui-ci fait suite à « Introduction à la topologie : espaces topologiques, métriques, normés » (mêmes auteurs), d’où la présence d’un premier chapitre « Prérequis » (8 pages) sans exercice, mais permettant l’usage indépendant de ce volume.

Les autres chapitres ont pour titres : « Limites et continuité dans les espaces topologiques » ; « Limites et continuité dans les espaces métriques » ; « Limites et continuité dans les espaces normés » ; « Espaces métriques complets ». Dans chacun d’entre eux, les rappels de cours sont à la fois condensés et suffisants, avec exemples et avertissements sur les erreurs fréquentes.

Les exercices, dans chaque chapitre, sont de difficulté croissante, du très facile au plus « pointu ». Dans les chapitres 2 et 3, ils sont répartis en deux rubriques : cas particuliers classiques, espaces généraux. Bon nombre d’entre eux consistent en la démonstration de résultats classiques, faisant partie du cours ou prolongeant celui-ci.
Ils sont organisés de façon réfléchie, se renvoyant de l’un à l’autre, se complétant pour construire par généralisations successives un savoir cohérent. Quelques-uns des corrigés proposent deux méthodes pour une même question ; les questions « ouvertes » de recherche d’exemples sont fréquentes.
Le dernier chapitre (espaces complets et de Banach) est nettement plus copieux que les autres : 23 exercices, les derniers étant de véritables problèmes en deux parties et plus de dix questions ; on y remarque plusieurs applications du théorème du point fixe à des déterminations d’approximations et résolutions approchées d’équations différentielles.

Voici donc encore un beau travail, soigné (malgré quelques coquilles), efficace, à conseiller.