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MATHÉMATIQUES POUR LE CAPES ET L’AGRÉGATION INTERNE

« MATHÉMATIQUES POUR LE CAPES
ET L’AGRÉGATION INTERNE » – Troisième édition –
.
par Jean DE BIASI
Éd. Ellipses.

464 pages avec une table des matières et un
index détaillé. Intéressante bibliographie au
fur et à mesure des thèmes traités. Excellente
présentation, figures nombreuses et claires,
belle planche de solides.
ISBN : 2-7298-1855-3. Prix : 35 € .

Jean de Biasi peaufine sans cesse ses
ouvrages pour le Capes et l’Agrégation
Interne : 208 pages en 1996 (cf. notre
Bulletin 403), une deuxième édition de 320
pages en 1998 (cf. Bulletin 419), 118 pages
de « Compléments » en 2000 (cf. Bulletin
433).
La nouvelle édition refond les deux dernières
selon les thèmes principaux et apporte, à
nouveau, quelques heureux compléments :
– Chapitre 7 : Les nombres entiers naturels.
– Chapitre 12 : Les nombres rationnels.
– Chapitre 13 : Les nombres décimaux.
– Chapitre 22 : Suites récurrentes (parties B
et C).
– Chapitre 65 : Sections planes de quadriques.
– Exercices.
De plus le chapitre 45 (polyèdres réguliers et
semi-réguliers) a été complètement revu et
augmenté.

La structure de l’ouvrage est désormais
la suivante :

Combinatoire  : 6 chapitres, 28 pages,
allant des arrangements et permutations aux
nombres et matrices de Stirling, à la suite de
Fibonacci, pour conclure en dégageant, bien
illustrés, les « principes généraux de combinatoire ».
Arithmétique : 8 chapitres, 38 pages, avec
un sort particulier aux nombres de Fermat (et
au théorème de Wantzel) en relation avec des
constructions de polygones réguliers (dont
celui à 17 côtés) avec règle et compas.
Algèbre  : 5 chapitres, 42 pages, en ouvrant
par les nombres complexes, ce qui permet de
meilleures synthèses ultérieures.
Analyse  : 12 chapitres, 60 pages, où j’ai
apprécié l’étude directe de $y ″ + a^2 y = 0$
($ a \ne 0 $) avec ses interventions dans quatre
phénomènes périodiques non amortis.
Géométrie : 15 chapitres, 116 pages, qui
investissent toute la géométrie classique des
collèges et lycées, « classiques » maintenant
et naguère, avec les produits scalaire, vectoriel, mixte, les divisions et faisceaux harmoniques, les faisceaux de cercles, la polarité
par rapport à un cercle, Simson, Steiner,
Euler, Ménélaüs et Céva, l’isogonalité, les
cercles d’Apollonius, … en terminant par les
polyèdres réguliers et semi-réguliers.
De jolies études émaillent tous ces chapitres,
par exemple pour les quadrilatères convexes,
le tétraèdre orthocentrique. Je note aussi les
pertinentes remarques sur la transformée
d’une courbe par « inversion triangulaire ».
Les transformations : 8 chapitres, 64
pages, avec des études très soignées des isométries, homothéties-translations, similitudes et inversions planes, en ouvrant sur les
homographies dans le plan complexe (introduites très simplement à partir de la sphère
de Riemann).
Géométrie différentielle, cinématique : 6
chapitres, 56 pages. Courbes planes paramétrées, en coordonnées polaires, courbure, …
avec un beau chapitre sur la cycloïde et, à
propos des courbes gauches, un éclairage sur
les hélices.
Les coniques : 4 chapitres et 27 pages, puis
une étude, chère à l’auteur, sur la puissance
d’un point par rapport à une conique (1 chapitre, 7 pages), assortie d’applications, et un
chapitre (8 pages), excellent, sur les sections
planes de quadriques.

• Cette division en huit sections, dont quatre
relèvent de la géométrie, ne rend pas compte
des interprétations dues à la culture de
l’auteur
et à la façon dont il l’a intériorisée.
Ainsi n’attend-on pas la section « Coniques »
pour donner, à propos de l’inversion, de
séduisants éclairages sur des inverses de
coniques…

Les huit sections que l’on pourrait qualifier de « COURS », mais qui, en réalité, y
intègrent bien d’exercices ou problèmes « 
classiques », sont suivies de 24 pages d’exercices résolus.
Ceux-ci sont, en réalité, de petits bijoux, tantôt élémentaires (ainsi le premier :
« Dénombrement de triangles »), tantôt plus
difficiles (ainsi le dernier : « Un triangle qui
a deux bissectrices égales est-il isocèle ? »,
« et si les deux bissectrices sont exté-
rieures ? »).
Ces exercices me semblent choisis soit pour
leur côté paradigmatique sur le plan des
méthodes, soit pour souligner l’intérêt de tel
ou tel théorème, soit pour présenter en langage moderne telle étude historique (ainsi, pour
« l’aire d’un segment de parabole »), soit,
tout simplement, pour un intérêt intrinsèque
du problème. Un riche panorama !

• « COURS » ou « EXERCICES », tout cela
est traité « à la DE BIASI » et ses étudiants
savent ce que cela veut dire : une pensée très
structurée, une compétence qui permet d’aller à l’essentiel et d’être le plus simple possible, des explications à la fois rigoureuses et
lumineuses, toujours simultanément solides
et attrayantes.
• De plus, l’auteur ne dédaigne aucune
méthode
, sait comparer sans disqualifier, et
n’hésite pas à faire appel … à des dessins
(Ainsi pour, $\Sigma p^3 = (\Sigma p ) ^2 $ avec $1 ≤ p ≤ n$,
$n$ et $p$ entiers). De plus, la matière classique
traitée l’est en un langage « moderne » dès
lors qu’il synthétise bien. Ainsi pour l’isomorphisme des groupes d’isométries d’un
cube et de son dual…

Ma conclusion est déjà connue. Pour les
Capes, l’Agrégation interne, et pour la culture personnelle d’un enseignant de mathématiques, quel excellent livre, si propre à nous
faire aimer les maths à travers d’heureuses
quintessences de contenus et de méthodes, en
un style à la fois concis, rigoureux et
agréable !

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