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MÉTHODES & TECHNIQUES GÉOMÉTRIQUES à propos de la droite de Newton

par Jean-Louis AYME.
Éd.
Ellipses. Co-diffusion APMEP : cf. plaquette
« VISAGES … » p. 44.

Brochure de 156 pages en 16,5 × 26, en noir
et blanc. Présentation claire, dessins abondants. Table des matières détaillée (3 pages).
Bibliographie intéressante (sauf pour le
Coxeter-Greitzer référé à une édition anglaise alors qu’il existe en français chez Gabay).
Index (2 pages).
N° ISBN : 2-7298-1585-6

Un projet ambitieux : démontrer un alignement remarquable par des méthodes multiples jalonnant l’histoire de la géométrie.
L’auteur, que l’on sait excellent géomètre, s’y
est attaqué à propos de la « droite de
Newton
 » d’un triangle ABC :

« Une transversale coupant (BC), (CA), (AB)
respectivement en P, Q, R, les milieux respectifs I, J, K de [AP], [BQ] et [CR] sont alignés ».

Les six points A, B, C, P, Q, R sont les sommets d’un « quadrilatère complet » et le théorème précédent s’énonce alors : « les milieux
des trois diagonales d’un quadrilatère complet sont alignés ».

Ici survient le plus étonnant  : Jean-Louis
Ayme nous offre TRENTE démonstrations
différentes couvrant cinq grands
domaines de la géométrie
. Les voici, après
un Chapitre I, très intéressant, de
« Présentation » :
Chapitre II. « La Méthode synthétique »
(i.e. la géométrie la plus « grecque ») : dix
démonstrations, du théorème de Thalès, ou
du parallélogramme de Varignon, … à des
techniques utilisant Pappus, Ménélaüs, Céva,

Chapitre III. « La Méthode analytique »,
avec trois « techniques », la troisième utilisant les complexes.
Chapitre IV. « La Méthode projective » :
six démonstrations qui nous séduisent, de
Poncelet à Möbius, en passant par Von
Staudt, Plüker, les barycentres, …
Chapitre V. « La Méthode des transformations » : quatre démonstrations (Euler-homothétie ; de Longchamps avec points isotomiques, ménéliennes réciproques et groupe
des homothéties-translations ; involution
avec homographies de pinceaux ; polaires
réciproques et faisceaux de coniques).
Chapitre VI. « La Méthode vectorielle » :
sept démonstrations, d’une « technique des
milieux » à Bellavitis, Grassmann, aux produits scalaire et vectoriel…

• LE TOUT EST ÉBLOUISSANT !
– Il n’ y a pas TRENTE démonstrations, mais
des centaines avec une foule de théorèmes et
de résultats annexes…

Non seulement les grands savoirs sont
mobilisés, mais aussi des méthodes générales

(immersions de la configuration étudiée dans
des configurations plus vastes, utilisation de
figures auxiliaires, de lieux géométriques,
…) et tous les types de raisonnement
– Le bain géométrique est sensationnel…
Voici, à travers ces dizaines et dizaines
d’études, une histoire vivante de la géométrie, parsemée d’une pléiade de noms de
découvreurs … chaque fois situés en leur
temps.

Des lycéens des Terminales scientifiques
seront à même d’apprécier une bonne partie
du livre. Les candidats aux Capes et aux
Agrégations
y trouveront partout de quoi
s’alimenter ! Et les enseignants de mathématiques, qu’ils s’attaquent ou non à tout, ont
de quoi s’y régaler et s’y ressourcer en un
plaisir sans cesse renouvelé
, l’ouvrage
gagnant à être dégusté peu à peu, en prenant
son temps d’une méthode à une autre…

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