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Mathématiques L1 - Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés

et Mathématiques L2 – Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés.

Marc Roux

- 20 mai 2011 -

Mathématiques L1 - Cours complet avec 1000 tests et exercices corrigés sous la direction de Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini.

Pearson Education 2007.
1102 pages en 19 x 24. Prix : 49 €.
ISBN : 978-2-7440-7258-1.

Mathématiques L2 – Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés,

sous la direction de Jean-Pierre Marco, Philippe Thieullen, Jacques-Arthur Weil.

Même éditeur, même format, même prix.
862 pages.
ISBN : 978-2-7440-7225-3.

Le volume L1 comprend : un avant-propos ; un préliminaire : « quelques modes de raisonnement  » ; 31 chapitres répartis en 5 parties  :

  • I. Bases : un peu de géométrie plane ; Guide d’analyse réelle ; Fonctions circulaires ; Logarithme, exponentielle, fonctions hyperboliques  ; Le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes  ; Symboles $\Sigma$ et $\Pi $.
  • II. Structures fondamentales : Ensembles, applications et structures algébriques ; Dénombrement ; La structure de groupe ; Le groupe symétrique S ; Anneaux et corps ; Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ ; Polynômes à une indéterminée sur le corps K = $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ; Fractions rationnelles.
  • III. Algèbre linéaire : calcul vectoriel dans $K^{n}$ ; Calcul matriciel ; Espaces vectoriels et applications linéaires ; Bases ; Sommes de sous-espaces vectoriels ; Déterminants.
  • IV. Analyse : La droite réelle ; Les suites réelles ou complexes ; Représentation et approximation des réels ; La notion générale de fonction ; Les fonctions continues ; Les intégrables  ; Retour sur les fonctions élémentaires  ; Dérivées d’ordre supérieur et applications.
  • V. Calcul différentiel : Initiation au calcul différentiel ; Équations différentielles ordinaires.

Le volume L2 comprend : un avant-propos ; 17 chapitres répartis en 4 parties :

  • I. Algèbre et géométrie : Algèbre linéaire et réduction des endomorphismes ; Formes quadratiques, algèbre bilinéaire ; Géométrie affine euclidienne ; Anneaux quotients et corps finis ; Introduction au calcul formel et à l’algorithmique.
  • II. Analyse : Introduction à la topologie ; Compléments d’intégration ; Intégrales dépendant d’un paramètre ; Séries numériques  ; Suites et séries de fonctions ; Séries entières ; Séries de Fourier ; Initiation aux mathématiques numériques.
  • III. Calcul différentiel : Compléments de calcul différentiel ; Calcul différentiel et analyse vectorielle ; Équations différentielles.
  • IV. Probabilités : probabilités.

Chaque volume est complété par : Solutions des tests ; Solutions des exercices ; Index.

Comme indiqué en sous-titre, il s’agit de cours complets, solidement structurés, avec démonstration de tous les résultats. Mais il est à noter qu’ils n’ont rien de la froideur, de la rigidité, héritées en particulier de Bourbaki, et que l’on rencontre encore dans maint manuel de CPGE, où est exclu tout mot superflu du point de vue de la pure logique, où les mathématiques sont présentées comme « toutes faites ». Ici les connaissances apportées sont longuement commentées, introduites progressivement, souvent d’abord dans des cas particuliers avant d’être généralisées.

Chaque partie, et chaque chapitre, comporte une introduction généralement historique, avec portrait des mathématiciens cités, qui montre les mathématiques comme une construction jamais achevée ; et qui annonce aussi les développements futurs en L2 et L3. Le souci permanent des auteurs est la construction, chez l’étudiant, d’une image mentale précise de chaque notion abordée, grâce à des explications détaillées, des exemples nombreux, souvent une introduction par un problème physique. Les encadrés « Attention  » repèrent et préviennent les erreurs classiques. Les savoirs-faire et techniques classiques ne sont pas pour autant oubliés, comme l’attestent les nombreux encadrés «  Méthode ».

Dans la même optique, dans le volume L1, on constate une volonté de progressivité dans la transition entre enseignements secondaire et supérieur : l’un des sept auteurs, Bernhard Elsner, enseigne en lycée ; la partie I revient longuement sur les acquis du lycée, les complète (notions qui furent jadis au programme de terminale C ou S…) et les établit plus rigoureusement, tout en étant moins formalisée et plus basée sur le « bon sens » que la suite du cours … au prix de quelques à-peu-près, comme « les longueurs sont des nombres » (page 4).

Inversement, les auteurs ne se sont pas enfermés dans les limites du programme : la quasi-totalité des chapitres se termine par un ou plusieurs Compléments à caractère culturel (généralement sans test ni exercice) qui apportent une ouverture vers des connaissances de niveau supérieur, mais aussi des jeux (de Nim, tours de Hanoï, …) et de nombreuses applications anciennes ou récentes (problème des deux corps, cryptographie, …).

Les tests (673 en L1, 406 en L2), intégrés au cours (de 2 à 45 par chapitre), sont des petites questions, souvent (en L1) sous forme de Vrai/Faux, auxquelles il est indispensable de savoir répondre avant d’aller plus loin ; en L2, certains sont de vrais petits exercices.

Les exercices de fin de chapitre (284 en L1, 202 en L2, de 0 à 23 par chapitre) sont de facture classique ; certains sont de petits problèmes avec questions enchaînées ; en L2, ils sont classés par niveau, de * à *** ; les corrigés sont généralement très clairs, même si les calculs ne sont pas détaillés.

Tout ceci fait de ces ouvrages des outils directement utilisables par l’étudiant, visiblement faits pour lui, pour lui apporter non seulement les connaissances et méthodes, mais aussi le plaisir de la découverte ; d’ailleurs au moins le premier a été relu par quelques-uns d’entre eux.

Cependant ils ne sont pas exempts de défauts : d’abord leur volume impressionnant les rend peu manipulables, et on se demande quelle nécessité éditoriale a empêché qu’ils soient subdivisés chacun en trois ou quatre tomes. Il n’est dit nulle part que certaines parties sont optionnelles, ce qui allégerait l’appréhension de l’étudiant devant une telle somme. Ensuite le tome L1 souffre d’un défaut de relecture, comme en témoigne un nombre excessif de coquilles et erreurs ; quand il s’agit d’un « s » manquant au pluriel, ou d’un mot imprimé deux fois, c’est agaçant mais sans conséquence ; par contre trouver « fini » à la place de « infini » (page 483), ou x à la place de + (page 215), risque de déstabiliser plus d’un lecteur novice ; et ces deux exemples ne sont hélas pas les seuls. Dans L2 ce type de défaut me semble plus rare (sans que je puisse l’affirmer) mais le corrigé d’au moins un test (17.6) est incohérent, et quelques autres erreurs peuvent gêner. Parfois des termes ou notations sont employés sans définition préalable, des notations des mêmes objets diffèrent d’un chapitre à l’autre ; un complément annoncé ( L1, chap 21) est absent. Les réponses à certains tests, données « sèches » (Vrai), mériteraient parfois quelque justification. Enfin les énoncés d’exercices sont quasi-exclusivement « fermés » (« démontrer que … »), on n’y trouve pas trace de problèmes à prise d’initiative  ; ni d’utilisation des outils informatiques, en dehors de la partie « algorithmique  » ; et l’absence de la moindre figure dans le chapitre Géométrie me dérange.

Pourtant, au vu des qualités repérées plus haut, ces défauts ne me semblent pas rédhibitoires, et tout en souhaitant de les voir corrigés dans une éventuelle réédition, je pense que ces manuels pourront être utilisés sans restriction et avec grand profit par les étudiants et les enseignants à la recherche de connaissances réellement assimilées et non superficielles, d’une véritable culture mathématique associée aux savoir-faire classiques, de mathématiques où les idées priment sur les automatismes.