Par Gabriel Baudrand

L’Harmattan 2015 - Collection Eidos

104 pages en 13,5 x 21,5. Prix : 12,50 €.

ISBN : 978-2-343-07951-6

Cet ouvrage fait partie d’une série intitulée
Recherches Esthétiques et Théorétiques sur
les Images Nouvelles et Anciennes (RETINA)
 ; il est le 49ème du groupe de recherche
« Frontières  ». L’auteur est enseignant en
CPGE à Amiens.

Il s’agit d’une « rêverie » à partir du mot
« frontière » et des significations qu’il peut
avoir en mathématiques et ailleurs, sans
oublier la frontière entre le monde mathématique
et les autres domaines intellectuels.

L’accent est mis sur les correspondances
fortes entre ces différentes acceptions, et sur
l’aspect positif qu’offre tout franchissement
de frontière.

Après une Introduction,

• le Chapitre 1 :
  Définition de la frontière apporte le vocabulaire
  de base de la topologie, avec claire différenciation
  entre, d’une part, le terme
  « ouvert », présent dans l’axiomatique, et de
  ce fait vidé de sens, mais néanmoins choisi
  pour suggérer des analogies avec le vocabulaire
  courant ; et d’autre part les termes
  comme « frontière », « intérieur », « fermeture
   », dont des définitions rigoureuses sont
  données, et les propriétés démontrées.
  Restant dans le cadre de la topologie classique
  de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^2$, l’auteur présente des
  « frontières pathologiques », telles celle de
  $\mathbb{Q}$, qui n’est autre que $\mathbb{R}$, d’intérieur non
  vide, alors que $\mathbb{Q}$, lui, est d’intérieur vide. À
  travers les topologies induites, il évoque les
  changements de point de vue. Toutes ces
  notions sont assorties d’analogies ou métaphores
  dans d’autres domaines de la pensée :
  philosophie, géopolitique, psychisme, … Un
  bel exemple à mon avis : pour l’observateur
  extérieur, la frontière de ma vie est la paire
  ma naissance, ma mort ; mais pour mon
  vécu subjectif, doté de la topologie induite,
  cette frontière est vide !
• Le Chapitre 2 : La frontière fractale, se limite
  aux exemples des ensembles de Julia et de
  Mandelbrot, mais les définit de façon précise.
  Le propos s’appuie sur des illustrations de
  grande qualité. On y découvre bien des propriétés,
  pas forcément connues du lecteur, où
  la notion de frontière joue un rôle central.
  L’ensemble de Mandelbrot est rapproché de
  l’Aleph de J.-L. Borges, « le lieu de l’univers
  où se trouvent, sans se confondre, tous les
  lieux de l’univers, vus de tous les angles ».
  Le titre du Chapitre 3 : Les mathématiques
  comme franchissement de frontières, est
  illustré par trois exemples : franchissement
  de la frontière de la signification, pour la
  notation $a^n$, lorsque $a$ cesse d’être un naturel
   ; franchissement de la frontière géométrie/
  algèbre, et de celle de la représentabilité,
  par la géométrie analytique et les espaces de
  dimension supérieure à 3 ; franchissement de
  la frontière de la création enfin, par
  Dedekind, qui, selon l’auteur, ne se contente
  pas de construire mais crée les réels.
• La Conclusion est un appel au franchissement
  de la frontière entre les mathématiques
  et les autres disciplines de réflexion.
  $$
  Même si certaines analogies sont un peu
  « forcées », réussir en si peu de pages à combiner
  un apport de connaissances mathématiques
  (accessibles à tout lecteur) avec des
  réflexions profondes sur le vocabulaire, sur
  les pratiques de la pensée, sur les différences
  et les proximités entre des disciplines rarement
  convergentes, est un véritable exploit,
  qui mérite bien deux heures de lecture.