501

Matrices. Ressources pédagogiques pour l’enseignement de spécialité en série S.

DGESCO février 2012.

62 pages en 21 X 29,7.

Peut être téléchargé et utilisé hors exploitation
commerciale.
(http://igmaths.infos.st/spip/spip.php?rubrique84)
voir aussi :
http://igmaths.infos.st/spip/spip.php?article246

Objectifs

D’entrée les auteurs précisent dans la page
d’introduction leurs objectifs, en utilisant
cinq fois le mot problème
Le programme de l’enseignement de spécialité
de la terminale scientifique réintroduit
l’algèbre linéaire au lycée. Mais l’algèbre
linéaire des années 1980 s’appuyait sur les
vecteurs du plan et de l’espace. L’entrée proposée
aujourd’hui est matricielle : il s’agit de
faire jouer un rôle à des tableaux de nombres,
lorsqu’ils sont particulièrement adaptés à
l’écriture et à la résolution de certains problèmes.
La première partie présente donc des
problèmes où l’introduction des matrices
simplifie lecture et écriture. une mise en
ordre est proposée dans la seconde partie, où
définitions et théorèmes bien rédigés sont
indispensables. Les professeurs sont invités à
ne pas démarrer directement par la présentation
des contenus théoriques, mais à introduire
les notions dans le cadre de problèmes
à résoudre. La troisième partie développe
plus complètement certains thèmes mentionnés
comme exemples dans le programme et
ouvre des perspectives sur d’autres sujets.
notamment en arithmétique : des liens vers
des ressources sont proposés ; il s’agit de calculs
trop éloignés du problème traité. on doit
pouvoir insister le temps qu’il faut sur les
calculs dont la maîtrise est un réel objectif,
quitte à s’en remettre pour les autres aux
outils existants pour pouvoir concentrer l’attention
des élèves sur le problème à résoudre.

Plan de l’ouvrage

  • I. Quelques problèmes faisant apparaître des
    matrices.
    • A. un problème à deux compartiments, commentaires
      et autres façons de l’écrire.
    • B. Étude, gestion et prévision économiques :
      indice de prix, admissions et sorties dans un
      hôpital.
    • C. Le modèle d’urnes de T. & P. Ehrenfest.
    • D. Représentation d’un graphe ; matrice
      d’adjacence ; connexité.
    • E. Marches aléatoires : sur un segment, un
      tétraèdre.
    • F. Pertinence d’une page web : de la
      recherche dans une bibliothèque à la
      recherche dans un graphe ; pertinence et probabilités.
    • G. Traitement de l’image : numériser des
      images, imager les nombres ; des matrices
      pour réaliser des transformations.
  • II. Définitions et premiers calculs avec des
    matrices.
    • A. opérations sur les matrices : addition,
      produit par un scalaire, produits.
    • B. Les matrices sont-elles inversibles ?
    • C. Puissances de matrices carrées d’ordre 2
      ou 3 ; cas particuliers, diagonalisation.
    • D. Traitement matriciel des suites de
      Fibonacci.
    • E. Retour sur les marches aléatoires.
  • III. L’outil matrices à l’oeuvre : compléments
    et exemples.
    • A Matrices en arithmétique : cryptographie ;
      approximation des nombres réels.
    • B. Matrices et probabilités : fougère de
      Barnsley, triangles rectangles pseudo-isocèles,
      points à coordonnées entières sur une
      hyperbole, le collectionneur, les urnes
      d’Ehrenfest.
    • C. Suites liées par une relation non linéaire ;
      discrétisation, recherche d’un équilibre,
      linéarisation autour du point d’équilibre,
      modèle perturbé.
  • IV. Annexe : utiliser Scilab pour numériser
    des images.
    • A. Les matrices : écriture, opérations.
    • B. Les couleurs ; codage et affichage.
    • C. Les transformations.
    • D .Les codes Scilab.

Quelques questions et remarques.

Nous avons relevé quelques coquilles, et rassemblé
quelques réflexions suscitées par une
double lecture attentive que nous transmettons
aux auteurs en vue d’une nouvelle édition.

Voici quelques exemples de ces
remarques :
 Page 5, ligne 6 : comment est définie la puissance
n-ième d’une matrice, alors qu’on n’a
pas défini le produit de deux matrices ?
 Page 9 : les coordonnées de X’ ne sont pas
entières ; il ne s’agit donc pas du nombre de
malades.
 Page 30 : Puisqu’on s’adresse au prof et pas
directement à l’élève, pourquoi, au lieu de
parler d’« un cadre assez confortable », n’utilise
t-on pas le mot « anneau » ?
 Page 32 : Multiplication par blocs, diagonalisation
sont hors programme du secondaire ;
si c’est pour la culture du professeur, pourquoi
ne pas donner la définition générale et
se borner à l’ordre 2 ?
 Page 41 : la transformation de $x^{2} - 2 = 0 $ en
x = (x + 2)/(x + 1) n’a rien de naturel ; comment
l’a-t-on trouvée ? et dans quel but,
guidé par quelle idée ? Si on le dit, on peut
peut-être guider les élèves pour qu’ils la
découvrent ; sinon, leur tâche se bornera à la
vérifier, et ce n’est pas très motivant !
 Page 48 (avant-dernière ligne) : Il faut préciser
ce qu’on entend par longueur du parcours
 : la longueur de la trajectoire est 101,
la durée du parcours est aléatoire ; la variable
p n’intervient pas dans la suite.
 Page 48-50 : Quel est le sens de manipuler
des nombres de 14 chiffres pour calculer des
probabilités, sauf bien sûr si elles sont très
voisines de 1 ou de 0 !
 Page 56 : « on peut alors vérifier que le système
(S1) équivaut au système... » : est-ce un
exemple de ce qu’on peut demander aux
élèves ? si oui, la question sera-t-elle
« démontrer que… » ou bien « trouver une
expression de $U_{n+1}$ et $ V{n+1}$ en fonction de
$U_n$ et $V_n $ » ?

Conclusion

Ce document qui offre des ressources très
variées éclairant quelques lignes de programme,
présente des qualités remarquables : il
modélise des situations concrètes riches et
variées mariant algèbre et probabilités. Il
explicite et fait agir des algorithmes de calcul
jusqu’au résultat cherché Il rendra donc de
grands services aux enseignants qui s’approprieront
l’étude d’une situation et chercheront
diverses solutions à un problème. Il
recoupe d’ailleurs largement le dossier du
BV 501.

Cependant, malgré la première phrase, « un
enseignement qui prend appui sur la résolution
de problèmes », les exemples ne sont pas
donnés sous forme de problèmes, mais d’exposés,
souvent clairs, mais parfois bizarrement
construits ; le travail de transposition :
mise à la portée des élèves, problématisation,
répartition des tâches entre professeur et
élève, est laissé à l’enseignant ; et il n’est pas
mince.
on peut être dubitatif sur ce que les élèves
(via leurs enseignants) en retireront ; autrefois
il fallait attendre l’université (licence ou
maîtrise) pour dominer toutes ces techniques
de calcul qu’on trouvait par exemple dans le
traité de W. Feller Introduction to probability
theory
I et II, Wiley 1968 ou dans le livre
d’A. Engel L’enseignement des probabilités et de la statistique Cedic 1978

Le niveau est
globalement bien trop élevé ; ces problèmes,
même pré-digérés par le prof, sont accessibles
au mieux à ceux des élèves qui vont
entrer en prépa. Il n’est donc pas question
pour l’enseignant de présenter tels quels les
situations, les modèles et les calculs auxquels
ils conduisent mais d’utiliser le document et
toute sa richesse pour rebâtir un exposé à la
portée de la classe, ouvert à la discussion et
prévoyant les questions des élèves.

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