Métier : enseigner les mathématiques aux élèves de onze à quinze ans L’exemple donné par Henri Bareil

François Pluvinage [1]

Il n’est pas toujours ni partout évident qu’enseigner les mathématiques au niveau
du second degré (le collège français) soit une véritable activité professionnelle,
avec les mêmes exigences que par exemple une spécialisation en
médecine, ou en droit. A certaines époques, et encore aujourd’hui dans nombre de
pays, c’est tout l’enseignement qui est considéré comme une activité n’exigeant que
la bonne connaissance des contenus à enseigner et certaines qualités humaines de communication.
Il suffit pour s’en convaincre de voir sur quelles bases, quels diplômes,
les enseignants sont recrutés et quelle peut être leur formation professionnelle initiale
et continue. Et même quand l’enseignement apparaît comme un métier, sa diversification
peut rester problématique. A quel âge convient-il que les élèves soient en présence
d’un professeur de mathématiques ? Et y a-t-il lieu d’envisager qu’un professeur de
mathématiques soit spécialisé à des niveaux scolaires précis ? Les réponses institutionnelles
sont variées dans le monde. Par exemple, dans certains pays, un professeur
enseignant à la fois les mathématiques et les sciences succède dans le second degré à
l’enseignant généraliste de l’école primaire.

Ces différences entre systèmes d’enseignement ne s’avèrent pas neutres pour les
apprentissages qui en résultent. Les résultats d’enquêtes internationales telle PISA mettent
un tel phénomène en évidence. Ainsi, en Europe, les meilleurs résultats en mathématique
obtenus aux enquêtes PISA sont ceux des jeunes finlandais dont, comme fait exprès, les professeurs de mathématiques jouissent socialement du statut de professionnels
reconnus. Certes d’autres facteurs, comme la durée et la fréquence de l’enseignement
mathématique proposé aux élèves, la forme de vie scolaire, jouent aussi
un rôle, mais qui n’occulte pas pour autant la qualité des professeurs.

En se contentant de dire qu’il faut des professeurs de qualité pour assurer un enseignement
mathématique de qualité, on profère ce qui semble une évidence et l’on
ne peut que susciter une adhésion qui n’engage à rien. Mais il convient de creuser
quelque peu ce que l’on peut entendre par qualité. Ce n’est a priori pas trop difficile
s’agissant de l’expression « enseignement de qualité » : ce sont les résultats, en termes
d’apprentissages, qui s’apprécient. Mais nous verrons qu’une telle appréciation, pour
être précise, s’accompagne d’exigences qui sont loin d’être toutes évidentes. Pour l’expression
« professeurs de qualité », son sens est beaucoup plus sujet à interrogation.
Comment caractériser un professeur de mathématique compétent ?

Certains collègues nous montrent des pistes par leur exemple. La carrière accomplie
par Henri Bareil est de celles qui ont une valeur d’exemplarité. Henri Bareil a considéré
tout au long de son existence qu’enseigner les mathématiques à des adolescents est un
métier exigeant, mais aussi gratifiant, au point qu’il n’a jamais envisagé d’en changer.
D’autres plans de carrière peuvent être tout aussi honorables, comme le fait de se
consacrer par exemple, après avoir enseigné dans des classes, à la formation des enseignants,
à l’inspection, à la direction d’établissement ou, en dehors du monde éducatif,
à l’édition ou à la politique, mais ils n’entraient pas dans les vues qu’Henri Bareil
avait pour son propre compte. Son point de vue était que ce qu’il était amené à faire et
à voir dans ses classes lui permettait d’occuper dans la société la place qui lui convenait
et lui donnait pleinement voix au chapitre à propos de l’enseignement des mathématiques
au niveau où il exerçait.

C’est lors de la décennie des années soixante-dix qu’Henri Bareil avait jugé qu’il
avait à dire, et à redire, sur l’enseignement mathématique de l’époque.
On était alors
dans la période des mathématiques modernes, mises en place sur la base des travaux
de la commission Lichnérowicz. Certes, cette commission comportait des représentants
institutionnels de l’enseignement, mais ses orientations étaient directement inspirées
du structuralisme provenant de la sphère des mathématiques et de la psychologie piagétienne.
Une discussion sur les résultats que la commission impulsa, jugés bénéfiques
comme la mise en place des IREM ou au contraire nocifs comme l’excès de formalisme
et d’abstraction qui avait envahi l’enseignement mathématique, a été étudiée dans de
nombreux documents et déborderait du cadre de ce texte. Nous ne nous y engagerons
donc pas.
Ce qui compte ici, c’est qu’un Henri Bareil était très conscient de ce qui se
passait dans ses classes et qu’il estimait que cela comptait tout autant que les considérations
avancées par de purs mathématiciens et psychologues. Il voulait en conséquence
que ce point de vue soit, au même titre que d’autres, mis sur la place publique et considéré
dans les débats.
Henri Bareil adhérait pleinement à l’idée qu’il est important que les élèves soient
amenés à faire vraiment des mathématiques, mais justement cela nécessitait pour lui
de tenir un discours mathématique accessible à tous, et non d’introduire en préalable
tout un langage accessible seulement à quelques-uns. C’est ce qu’il exprimait au sein
des IREM et dans les instances de l’APMEP, auxquels il participait durant les années
soixante-dix.
Ainsi en décembre 1976, Henri Bareil, en tant que directeur adjoint de
l’IREM de Toulouse et au nom du groupe de recherche Inter-IREM sur la géométrie
en 4ème-3ème, dit OPC signait une lettre adressée au Doyen de l’Inspection Générale de
Mathématiques. Le groupe OPC avait entrepris une expérimentation dans quarante
classes environ, suivies sur deux ans. Parmi la douzaine de déclarations figurant dans
la lettre adressée au Doyen de l’Inspection Générale de Mathématiques, citons le début
de la dixième, qui illustre bien une pensée qu’Henri Bareil a souvent eu l’occasion de
défendre : « Les divers courants OPC refusent d’inscrire leurs choix dans le cadre
d’une axiomatique globale (surtout si celle-ci devait être minimale !), celle-ci étant
hors d’atteinte de la quasi-totalité des élèves et ne pouvant qu’être imposée.
 »

Rappelons qu’avait alors cours une polémique sur l’axiomatique à introduire, implicitement
ou explicitement, en géométrie en 4ème-3ème : géométrie métrique d’emblée,
ou affine avant la métrique. Dans l’enseignement d’aujourd’hui une telle discussion
apparaîtrait irréaliste. On risque plutôt l’excès inverse, à savoir ne pas expliciter les
résultats qu’il s’agit de mettre en œuvre dans des activités. Sans connaître la notion
d’espaces de travail en géométrie, qui n’a été envisagée que plus tard par Alain Kuzniak
et Catherine Houdement, Henri Bareil était bien conscient de l’intérêt et de la possibilité
d’amener les élèves à d’authentiques démarches de démonstration. Des activités
autres que la démonstration peuvent également être proposées à propos de la référence
géométrique sur laquelle certaines représentations planes s’appuient. Henri Bareil était
friand de telles activités pour ses élèves.

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Figure : une côte de pente 10% ! (échelle verticale 1/10000, échelle horizontale 1/100000

Par exemple, pour que la représentation d’une
étape de montagne du Tour de France cycliste soit parlante, on doit représenter distances
et altitudes selon des échelles bien différentes. Demandez-vous comment représenter
une côte de 10 km de long ayant une
pente de 10% (on s’élève de 10 m quand on parcourt
100 m) avec une échelle verticale égale à
dix fois l’échelle horizontale, comme illustré sur
la figure. La distance HB sur la figure doit donc
représenter 1 km (ou 1000 m), et AB 10 km.
Ainsi, si vous dites que l’on obtiendra un triangle
AHB isocèle, vous serez à côté du résultat même
si vous n’en êtes pas loin. Le type de raisonnement
géométrique à mener ici est de ceux qui intéressaient
Henri Bareil.

Lorsqu’une commission, baptisée COPREM fut créée au début des années quatre-vingts,
sous la présidence du regretté Jean Martinet, avec pour but de repenser les
contenus des programmes de l’enseignement mathématique en tirant parti du bilan des
précédents, la participation d’Henri Bareil à cette commission s’imposait naturellement.
Les réflexions de la COPREM différaient profondément des commissions antérieures
par une orientation beaucoup plus pédagogique et didactique. C’est
qu’entre-temps, le travail entrepris dans les IREM, tel celui précédemment cité, avait
pris du poids, ainsi que les premières recherches menées dans le cadre de la didactique
des mathématiques. Le professeur dans ses classes n’était plus systématiquement considéré
comme le détenteur d’un savoir suranné qu’il fallait remettre complètement à jour
(on avait parlé de recyclage des professeurs), mais il pouvait apparaître comme un professionnel
dans sa partie. On peut dire que quelqu’un comme Henri Bareil était de
ceux qui avaient redoré le blason de la profession.

La COPREM s’était scindée en groupes pour préparer ses documents, et Jean Martinet
m’avait confié la coordination du groupe « Collège ». C’est bien sûr à ce groupe
qu’Henri Bareil apportait sa contribution. Bien évidemment, la réflexion sur les programmes
était l’objectif de travail le plus important. Le fait que les programmes de
mathématiques issus du travail de la COPREM pour le niveau du collège n’aient été
jusqu’à nos jours que l’objet d’aménagements mineurs est une référence quant à la
qualité des réflexions conduites à l’époque.
La géométrie, précédemment évoquée,
n’était pas la seule préoccupation. Henri Bareil était de ceux qui avaient pris conscience
de ce que, dans le champ des questions numériques, l’apprentissage de la proportionnalité
et des questions connexes (écritures fractionnaires, pourcentages, etc.) est un
échec pour le système éducatif. Cela veut dire non pas qu’il n’y a pas quantité d’élèves
qui apprennent à reconnaître les cas qui relèvent de la proportionnalité et à traiter ces
cas, mais que le nombre d’élèves qui n’y parviennent pas est trop élevé pour les besoins
de formation auxquels le système éducatif devrait satisfaire.
Aujourd’hui, après les résultats
d’enquêtes internationales telle que PISA, on est conscient de cette carence de
formation, laquelle peut affecter jusqu’à des personnalités aussi haut placées que le
ministre français de l’Education Nationale (interrogé en 2008 sur la chaîne de télévision
Canal Plus à propos de projets de programmes pour l’école primaire, Xavier Darcos
s’est avoué dans l’incapacité d’obtenir le prix de 14 stylos à partir de la donnée du prix
de 2,42 euro pour 4 stylos). A l’époque de la COPREM, même si nous avions publié
dans le cadre de l’IREM de Strasbourg un article sur la proportionnalité et son utilisation,
paru dans un des premiers numéros de la revue Recherche en Didactique des Mathématiques,
beaucoup s’imaginaient encore que la barre était placée plus haut qu’à
ce niveau qui leur paraissait des plus élémentaires. Pas Henri Bareil : lui avait le « nez »
pour apprécier où précisément se situaient les difficultés de ses élèves.

A l’époque, on se préoccupait beaucoup de langage à propos des mathématiques,
et l’acquisition du langage mathématique permettant d’exprimer les concepts étudiés
faisait partie des objectifs indiqués dans les programmes. Henri Bareil avait sur ce
point une position très nette : le langage doit s’acquérir lors de l’activité mathématique
même. Aujourd’hui, je dirai de plus qu’une difficulté qui se rencontre dans l’enseignement
des mathématiques, et qui n’était pas identifiée à l’époque, est qu’il s’agit d’un
apprentissage de plusieurs langues. Ainsi la « langue » naturelle de la proportionnalité
est associée à l’écriture fractionnaire, laquelle introduit, en raison de la superposition
de numérateurs et dénominateurs, des règles syntaxiques et sémantiques nouvelles par
rapport à l’écriture usuelle en ligne.
L’introduction de l’algèbre correspond, elle aussi,
à l’acquisition d’une nouvelle « langue ». Beaucoup d’élèves n’y accèdent pas, mais
la difficulté à maîtriser l’écriture algébrique (le calcul littéral) a peut-être été davantage
repérée que les difficultés sur la proportionnalité. Bien évidemment, la question du
calcul littéral était prise en compte dans le travail de la COPREM.

En parallèle au travail sur les programmes, nous avions publié des textes de réflexion,
précisément sur la proportionnalité, ainsi que sur le calcul numérique. L’étude
faite allait bien sûr plus loin que les applications de la règle de trois.
Ainsi un exemple
donné - je ne sais plus, de Henri Bareil ou Régine Douady, qui l’avait proposé- était
en rapport avec la moyenne harmonique et concernait le vélo comme celui donné plus
haut :
Les coureurs cyclistes savent bien, d’expérience, que s’ils veulent gagner du
temps dans une étape comportant la montée d’un col et sa descente, ils ont intérêt à
gratter du temps à la montée : gagner 1 km/h à la montée a bien plus d’importance
que 5 km/h à la descente
.
Des réactions au texte sur la proportionnalité avaient été
sollicitées de la part des enseignants et des responsables du système éducatif - au passage,
je trouve que cela aurait été bien qu’il en soit fait de même pour les textes très
riches qu’a produits, plus récemment, la commission dirigée par Jean-Pierre Kahane - et c’est Henri Bareil qui s’était chargé d’en faire la recension. Ce n’est pas le genre
de tâches des plus exaltantes, mais qu’il ne rechignait pas à accomplir du moment
qu’elles apparaissaient utiles.
Bien sûr, ce qui lui plaisait le plus était l’activité mathématique.
Il dégustait un joli problème mathématique comme d’autres dégustent un bon
vin. Cet intérêt n’a d’ailleurs pas diminué jusqu’à ses toutes dernières années : sur le
site Publimath <http://publimath.irem.univ-mrs.fr/> , allez consulter l’auteur Henri Bareil
et vous y verrez des publications jusqu’en 2008.

Ce goût d’Henri Bareil pour l’activité
mathématique était certainement, avec l’envie de la communiquer à ses élèves,
une clé de son excellence professionnelle.

Notes

[1Professeur des Universites (ER), membre, ainsi qu’Henri
Bareil, de la COPREM de 1982 à 1986

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