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Nombres rimant avec leur carré

Julien Moreau

Le carré d’un entier finissant par 6 finit par 6 ; le carré d’un entier finissant par 76 finit par 76, celui d’un entier finissant par 376 finit par 376. Peut-on continuer ainsi indéfiniment ? Et, plus généralement, comment fabriquer des nombres dont le carré rime riche, si l’on peut dire, avec le nombre lui-même ?

Ce problème n’a qu’un intérêt anecdotique [1], mais il est assez distrayant et constitue un bon thème de travail sur la divisibilité et les congruences dans l’enseignement de spécialité en terminale S.

1. Problème ($P_n$)

Y a-t-il des nombres x (x $\in \mathbb N$) tels que les n derniers chiffres de l’écriture décimale de $x^2$ soient les mêmes que ceux de x et quels sont-ils ?

On connaît les solutions pour n = 1 (x se termine par 0, 1, 5 ou 6). Il est bien connu aussi que, si x se termine par 00, 01 ou 25, son carré se termine aussi par 00, 01 ou 25 ; il est déjà moins connu que les nombres se terminant par 76 ont la même propriété.

En s’appuyant sur le fait que les n − 1 derniers chiffres d’une solution de ($P_n$) forment une solution de ($P_{n-1}$), il est possible de faire une exploration artisanale à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, qui permet de bâtir aisément de proche en proche le tableau (T) ci-dessous.

(T)

n 1 2 3 4 5
solutions
de (Pn) :
nombres
finissant
par …
0 00 000 0 000 00 000
1 01 001 0 001 00 001
5 25 625 0 625 90 625
6 76 376 9 376 09 376

Nous nous proposons maintenant de montrer qu’il existe pour tout n donné des solutions, de les dénombrer et d’en fournir une technique de fabrication. Pour cela, nous allons remplacer le problème par un problème de congruence.

2. Problème ($P'_n$)

Toute solution x de ($P_n$) est bien sûr solution du problème ($P'_n$) suivant :

Quels sont les nombres x (x $\in \mathbb Z$) tels que $x^2\equiv x$ (mod $10^n$) ?

Réciproquement, considérons une solution x de ($P'_n$). Tout x’ congru à x modulo $10^n$ est évidemment aussi solution ; parmi eux, il y en a un et un seul, $x_0$, situé dans [0, $10^n$[. Si $x_0 \ge 10^{n-1}$, les entiers naturels dont les n derniers chiffres sont les n chiffres de $x_0$ sont solutions de ($P_n$) ; si $x_0$ a m chiffres, avec m $<$ n, les entiers naturels dont les n derniers chiffres s’obtiennent en mettant n − m zéros devant l’écriture de $x_0$ sont solutions de ($P_n$). Ainsi 625 est solution de ($P'_4$)) et les solutions correspondantes de ($P_4$) sont les nombres finissant par 0625.
Pour résoudre ($P_n$), il nous suffit donc de résoudre($P'_n$).

3. Mise en forme de ($P'_n$)

La congruence $x^2 \equiv x$ (mod $10^n$) a, comme l’équation $x^2=x$, les solutions évidentes 0 et 1. Mais le travail empirique fait au départ montre que ce ne sont pas les seules.
Ce peut être l’occasion d’amener les élèves à une salutaire réflexion : le symbole $\equiv$ se manipule comme le signe = pour ce qui est des opérations +, −, × mais $ab \equiv 0$ n’implique pas forcément $a\equiv 0$ ou $b\equiv 0$, ce qui interdit de simplifier sans précautions.

Nous écarterons désormais les solutions 0 et 1, correspondant pour ($P_n$) aux nombres finissant par 00…0 ou 00…1.
On veut que $10^n$ divise $x^2-x$, c’est-à-dire que $2^n . 5^n$ divise x(x − 1). Comme x et x − 1 sont premiers entre eux, 5, qui divise leur produit, divise l’un des deux et est premier avec l’autre ; finalement $5^n$ divise l’un des deux et est premier avec l’autre.
Même chose pour $2^n$.

Au total, on a quatre possibilités s’excluant mutuellement :

  • $2^n$ et $5^n$ divisent tous deux x,
  • $2^n$ et $5^n$ et divisent tous deux x − 1,
  • $2^n$ divise x − 1 et $5^n$ divise x,
  • $2^n$ divise x et $5^n$ divise x − 1.

Or, $2^n$ et $5^n$ étant premiers entre eux, si chacun d’eux divise un même nombre, leur produit aussi. Les deux premiers cas envisagés donnent donc $x \equiv 0$ (mod $10^n$) ou $x \equiv 1$ (mod $10^n$), solutions que nous avons déjà rencontrées. Les autres solutions de ($P'_n$) sont les x tels que soit réalisé l’un des deux systèmes de conditions :
($A_n$) $5^n$ divise x, $2^n$ divise x − 1,
($B_n$) $2^n$ divise x, $5^n$ divise x − 1.

4. Résolution de ($A_n$)

Lemme (L) : Le carré de toute solution de ($A_n$) est solution de ($A_{n+1}$).

Supposons que ($A_n$) ait une solution z ; montrons que $z^2$ est solution de ($A_{n+1}$).
Par hypothèse, z est divisible par $5^n$, donc $z^2$ l’est par $5^{2n}$ et a fortiori par $5^{n+1}$. Par hypothèse également, z − 1 est divisible par $2^n$ ; z + 1 est donc pair, ce qui prouve que leur produit $z^2$ − 1 est divisible par $2^{n+1}$.

Existence d’une solution pour tout n

Sachant que ($A_1$) a la solution 5, il suffit de raisonner par récurrence en utilisant le lemme (L).

« Unicité » de la solution pour tout n

Si x et y sont deux solutions de ($A_n$), l’application du principe « si a divise b et c, il divise b − c » montre que $2^n$ et $5^n$ divisent x − y ; comme $2^n$ et $5^n$ sont premiers entre eux, leur produit $10^n$ divise x − y. Autrement dit $x \equiv y$ (mod $10^n$).
Il y a donc, pour n donné, unicité modulo $10^n$ de la solution de ($A_n$). Nous appellerons désormais $u_n$ sa détermination appartenant à $[0, 10^n[$.

Construction de la suite des $u_n$

Toute solution de ($A_{n+1}$) étant solution de ($A_n$), nous avons $u_{n+1} \equiv u_n$ (mod $10^n$).
Il en résulte que, si $\overline { \alpha_{n-1}...\alpha_1 \alpha_0}$ est l’écriture décimale de $u_n$ (étant entendu qu’en tête de cette écriture peuvent figurer un ou plusieurs zéros, si d’aventure on a $u_n<10^{n-1}$), celle de $u_{n+1}$ est du type $\overline { \alpha_n\alpha_{n-1}...\alpha_1 \alpha_0}$ , où $\alpha_n$ est un chiffre convenablement choisi (pouvant être 0).

En outre, il résulte du lemme (L) que $u_n^2$ est solution de ($A_{n+1}$) et donc que $u_{n+1}\equiv u_n^2$ (mod $10^{n+1$). Par suite $\alpha_n$ est le chiffre d’indice n dans l’écriture de $u_n^2$.
Ainsi, de $u_5$ = 90 625 on tire $u_5^2$= 8 212 890 625, puis $u_6$ = 890 625.

5. Étude de ($B_n$)

Relation entre les conditions ($A_n$) e t ($B_n$)

Posons x = 1 − y dans la condition ($B_n$) : $2^n$ divise x, $5^n$ divise x − 1. Elle devient : $2^n$ divise y − 1, $5^n$ divise y.
Autrement dit, x vérifie ($B_n$) si et seulement 1 − x vérifie ($A_n$).

Résolution de ($B_n$)

D’après ce qui précède, ($B_n$) a une solution, unique modulo $10^n$, qui est 1 − $u_n$.
Appelons $v_n$ sa détermination appartenant à $[0, 10^n[$. Le nombre $u_n + v_n$ est congru à 1 modulo $10^n$ et strictement compris entre 4 (puisque l’écriture de $u_n$ finit par un 5) et 2 × $10^n$. On a donc, pour toute valeur de n :

$$u_n + v_n = 10^n + 1$$

D’où la règle de « fabrication » de $v_n$ à partir de $u_n$ : le chiffre des unités de $v_n$ est 6 ; tous les autres chiffres sont les compléments à 9 des chiffres de même rang de $u_n$.

NB : De on déduit aussitôt que . L’écriture décimale du produit $u_n v_n$ comporte donc au moins n zéros à droite.

6. Liste des solutions de ($P_n$ )

Résumons les résultats obtenus :
Pour tout n, il existe quatre solutions [2] de ($P_n$). Ce sont les nombres dont les derniers chiffres sont :

  • 000…0 ;
  • 00… 01 ;
  • l’écriture décimale de $u_n$ (complétée si nécessaire par des zéros à gauche) ;
  • l’écriture décimale de $v_n$ (id).

N.B. : Si nous posons $u_n$=$5^n a_n$ et $v^n=2^n b_n$, où $a_n$ et $b_n$ sont manifestement des entiers naturels, la relation $u_n + v_n = 10^n + 1$ nous donne l’égalité de Bézout :

$$5^n a_n + 2^n (b_n - 5^n) = 1$$

7. Calcul de $u_n$ et $v_n$

Une formule explicite pour $u_n$

Montrons que, pour tout n, $5^{2^{n-1}}$ est solution de ($A_n$).
La chose est manifeste pour n = 1 et n = 2. Supposons maintenant que pour un indice n donné, $5^{2^{n-1}}$ soit solution de ($A_n$) ; alors son carré est solution de ($A_{n+1}$).
Il en résulte que $u_n$ est le reste de la division de $5^{2^{n-1}}$ par $10^n$. Autrement dit, son écriture est formée des n derniers chiffres de celle de $5^{2^{n-1}}$.
Nous sommes donc tentés de pavoiser. Nous avons un algorithme a priori simplissime pour le calcul de $u_n$ : prendre les n derniers chiffres de $5^{2^{n-1}}$.

Appliquons-le, par exemple, au calcul de $u_{10}$. Il nous faut les 10 derniers chiffres de $5^{512}$. Ma calculatrice donne 7,4583407312002067432909653154629… × $10^{357}$ avec 31 décimales, ce qui n’est déjà pas si mal. Hélas, ce dont j’aurais besoin, ce sont les décimales numéros 348 à 357 !

C’est sans doute le moment de faire prendre conscience aux élèves d’un phénomène courant en mathématiques : la formule donnant la solution exacte d’un problème peut être à la fois accessible, simple d’aspect et pourtant trop lourde à manipuler pour être utilisable.

Calcul de $u_n$ par récurrence

Il faut alors nous rabattre sur le calcul par récurrence, en nous appuyant, comme il a été indiqué à la fin du § 4, sur le fait que, dans l’écriture décimale de $u_{n+1}$, le chiffre d’indice n (c’est-à-dire le coefficient de $10^n$) est le même que dans celle de $u_n^2$. On obtient très vite, même avec une calculatrice modeste, le tableau (U) ci-après. Le tableau (V) s’en déduit aussitôt.

(U)

n $u_n$ $u_n^2$
2 25 625
3 625 390 625
4 625 390 625
5 90 625 8 212 890 625
6 890 625 793 212 890 625
7 2 890 625 8 355 712 890 625
8 12 890 625 166 168 212 890 625
9 212 890 625 45 322 418 212 890 625
10 8 212 890 625

(V)

n $v_n$ $v_n^2$
2 76 5 776
3 376 141 376
4 9 376 87 909 376
5 9 376 87 909 376
6 109 376 11 963 109 376
7 7 109 376 50 543 227 109 376
8 87 109 376 7 588 043 387 109 376
9 787 109 376 619 541 169 787 109 376
10 1 787 109 376

N.B. : À titre de curiosité, donnons les résultats pour n = 20 : $u_{20}$ = 92 256 259 918 212 890 625 $v_{20}$ = 07 743 740 081 787 109 376

8. Appendice

L’étude ci-dessus peut être prolongée dans différentes directions :

  • Et si au lieu du carré on s’intéressait aux puissances q-ièmes ?
  • Et si on posait le problème dans une base autre que 10 ?
  • Et si on essayait de donner sens aux écritures ……59 918 212 890 625 et ……40 081 787 109 376, illimitées à gauche, auxquelles le problème nous a conduits ?

La première piste peut être empruntée avec une bonne classe de Terminale. La seconde peut être suivie soit au niveau de la Terminale, soit au niveau du premier cycle universitaire. La dernière est un peu plus raide.

Le lecteur curieux ou masochiste trouvera des éléments de réponse sur le site Internet de l’APMEP, dans le Bulletin Vert 484 avec les fichiers "Rimer avec son carré" (version PDF et DOC) téléchargeables ci-dessous.

PDF - 63.8 ko
Rimer avec son carré (PDF)

 
Word - 495.5 ko
Rimer avec son carré (DOC)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Il a cependant retenu l’attention de mathématiciens sérieux, notamment Édouard Lucas.

[2] Elles sont toujours distinctes, car elles sont de dernier chiffre 0, 1, 5, 6