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Orthocentres et aires

Comment un résultat peu connu a été (re)trouvé grâce à un logiciel de géométrie dynamique.

Louis Rivoallan [1]

Je vais mourir étouffé par l’orgueil, mais mourir heureux.
J’ai trouvé « un théorème ».
Probablement, d’ici peu, un des lecteurs objectera que le résultat était connu depuis des lustres, mais quand même, je suis très fier.
Et puis, en attendant que ce lecteur – que je hais par avance – apporte la mauvaise nouvelle, permettez-moi de vous conter ma trouvaille [2].
D’abord le théorème en question :

Dans un plan, on considère un triangle ABC et un point M quelconque non situé sur les droites (AB), (BC) ou (CA). Soit A’, B’ et C’ les orthocentres respectifs des triangles MBC, MCA et MAB. Alors les triangles ABC et A’B’C’ ont la même aire .

La démonstration ?
Comme je n’ai pas trouvé de démonstration géométrique, je me suis lancé dans de pénibles calculs de géométrie analytique. On donne des coordonnées aux points A, B,
C et M, puis on calcule les coordonnées de A’, B’ et C’, et enfin on compare les produits vectoriels $\overrightarrow{AB}scalaire \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{A'B'} scalaire\overrightarrow{A'C'}$. C’est long et pas marrant, mais ça marche. Depuis, j’ai trouvé mieux (cf. annexe 1), mais cela reste très calculatoire.
Là encore, il y a un lecteur, que je hais au moins autant que le précédent, qui va trouver une jolie démonstration géométrique. Pour peu que ce soit le même ... [3] (cf. annexe 3).

Une démonstration d’un résultat probablement connu depuis des siècles mérite-t-elle un article dans ce bulletin vert ? Non bien sûr. En revanche, comment j’ai trouvé cette propriété qui m’était parfaitement inconnue me paraît intéressant.

C’est grâce à GEOGEBRA et à la rubrique « petits problèmes » que publie Corol’aire, notre publication régionale du Poitou-Charentes. J’y participe régulièrement, parfois pour apporter des solutions, parfois pour proposer des énoncés.

À la recherche d’énoncés « nouveaux », j’ai eu l’idée de prendre un triangle ABC quelconque, un point M quelconque. Ayant tracé les segments [AM], [BM] et [CM], il a été facile de faire apparaître les centres des cercles circonscrits aux triangles MAB, MBC et MCA que j’ai appelé C’, A’ et B’.

GEOGEBRA permet d’afficher les aires des polygones.

C’est en déplaçant le point M que je me suis rendu compte du résultat suivant :

(P2) Si le point M était l’orthocentre de ABC, alors le triangle A’B’C’ était l’image de ABC dans la symétrie centrale dont le centre est le centre du cercle des neuf points de ABC (et de A’B’C’ aussi d’ailleurs) [4].

Je tenais là un bel énoncé dont la solution est abordable en classe de Première S (prévoir des questions intermédiaires cependant).
D’autant plus que cette configuration est la source de nouvelles conjectures (cf. Annexe 4).

Fort de ce premier pas, à partir de la même configuration, ABC et M quelconques, au lieu de regarder les centres des cercles circonscrits, j’ai fait apparaître les orthocentres, en gardant les notations.
Et là, quelle ne fut pas ma surprise de constater que les triangles ABC et A’B’C’ avaient toujours la même aire.

Vous connaissez la suite.

Pas tout à fait cependant car, en observant de plus près, on voit que si M est sur le cercle circonscrit à ABC alors les triangles ABC et A’B’C’ sont isométriques. Là encore la démonstration est accessible à un élève de Première S (cf. annexe 2).
Les logiciels de géométrie dynamique permettent de multiplier les tracés, de faire bouger les figures, de faire des calculs aussi. Avec un papier et un crayon, jamais je n’aurais eu le courage de faire ces figures, et encore moins de faire les calculs d’aire.
Et je n’aurai pas trouvé « mon » théorème. Avouez que cela aurait été regrettable.

Dernière minute : j’apprends que l’équipe de L’OUVERT (journal de la régionale d’Alsace de l’APMEP) s’est « attaquée » à ce problème et a découvert :

  • 1) une démonstration géométrique pure, simple et élégante, avec une première généralisation ;
  • 2) une démonstration algébrique également simple, se généralisant à toutes les dimensions.
    Espérons-en une publication prochaine.

Lire les annexes


[1] louis.rivoallan@gmail.com

[2] Il n’aura pas fallu attendre longtemps pour trouver ce lecteur ! Dès la relecture de cet article, J.-P. Friedelmeyer, membre de la commission, particulièrement fureteur disent ses amis, a déniché l’énoncé de cette propriété dans le Traité de géométrie de Rouché et Comberousse, édition de 1935, première partie Géométrie plane, page 502 (exercice 9).
Sans démonstration, ni aucune indication de méthode.

[3] Ce n’est qu’une formule de style, car ce sentiment m’est totalement étranger. D’autant plus que, piqués au vif, Marc Roux et J.-P. Friedelmeyer, les relecteurs précédents, ont trouvé deux autres démonstrations. L’une, calculatoire, qui utilise les propriétés des déterminants (annexe 3) ; l’autre, plus géométrique, « à la Euclide », et qui se termine grâce à un théorème sur les polynômes, est trop longue et compliquée pour être incluse ici.

[4] Le cercle des neuf points d’un triangle ABC, encore appelé cercle d’Euler, passe par 9 points remarquables du triangle ABC : les trois milieux des côtés, les trois pieds des hauteurs et les trois milieux des segments joignant l’orthocentre aux sommets. De plus, son centre est le milieu du segment dont les extrémités sont l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit à ABC, et le centre de gravité du triangle est aligné avec ces trois points (droite d’Euler)