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Preuves sans mots Exercices de mathématiques visuelles

par Roger B. Nelsen

Traduction et adaptation : Jean-Marc
Lévy-Leblond – Préface : Jean-Paul
Delahaye.

Hermann, 2013.

278 pages en 16 x 24. Prix : 27 €

ISBN:978-2-7056-8466-2.

Les deux volumes de l’édition originale américaine
sont parus respectivement en 1993 et
2000 ; J.-M. Lévy-Leblond en a réorganisé le
contenu, et a ajouté des exemples de son cru.
Dans sa préface, J.-P. Delahaye présente la
vogue des « démonstrations sans mots »
comme une saine réaction à la période pendant
laquelle, à la suite de Bourbaki, paraissaient
des livres de géométrie sans la
moindre figure. Il évoque « le plaisir qu’on
éprouve à saisir l’idée démonstrative cachée
dans un dessin
 », et vante le pouvoir persuasif
de celui-ci ; mais il met fort justement en
garde contre le danger des évidences graphiques,
prenant l’exemple historique du
principe des valeurs intermédiaires (voir Les
démonstrations du théorème fondamental de
l’algèbre
, par Jean Dhombres et Carlos
Alvarez, recensé dans cette même rubrique),
et il défend, comme plus rigoureuses et
moins contestables, les preuves avec mots, et
les preuves formelles.

Il est à noter que les « preuves sans mots » ne
sont pas uniquement composées de dessins :
on y trouve aussi parfois des calculs algébriques.

Le corps de l’ouvrage rassemble pas moins
de 233 de ces preuves, réparties en 7 thèmes :

  • I. Géométrie et algèbre
  • II. Trigonométrie
  • III. Géométrie analytique, calcul différentiel
    et intégral
  • IV. Inégalités
  • V.Entiers et sommes d’entiers, combinatoire
  • VI. Suites et séries
  • VII. Algèbre linéaire
  • Pour chaque exemple est indiqué son auteur,
    ainsi que, souvent, l’origine historique de la
    propriété. Souvent plusieurs preuves, très
    différentes, concernent une même propriété
    (13 pour le théorème de Pythagore).

Les dessins,
réalisés avec beaucoup de soin et de
clarté, sont essentiellement de trois types :
figures classiques de géométrie plane (avec
ou sans repère), puzzles, et assemblages de
cubes, dans l’espace. Ceux du dernier type,
fréquents parmi les apports personnels de
Roger B. Nelsen, me semblent particulièrement
convaincants. Il y a des cas où le dessin
n’est guère qu’une illustration, support d’un
raisonnement mental qui reste à construire ;
d’autres où le passage du cas particulier à la
généralisation reste de l’ordre de l’analogie.
Mais dans bien des exemples, un esprit un
peu entraîné verra directement n objets là ou
6 ou 8 sont dessinés, et arrivera à la conclusion
dans toute sa généralité ; un bel exemple
est la démonstration de « ln(ab) = ln(a) +
ln(b) »
.

Certaines des propriétés, peu
connues bien qu’intéressantes, enrichiront la
culture mathématique du lecteur.

Pédagogiquement, le concept de preuve sans
mot est, je pense, à la fois riche et à manier
avec précaution : que rétorquer à l’élève qui
dit « ça se voit  » ? Par contre, un exercice
peut consister à rédiger la preuve vue ; un
autre, oral, à expliciter celle-ci par des mots
et des gestes («  ce triangle a la même hauteur
que celui-ci, donc…
 »). Une bonne proportion
des exemples est adaptable aux logiciels
de géométrie dynamique, et on peut regretter
que ni l’auteur ni le traducteur-adaptateur ne
l’aient signalé. Manque aussi un contre exemple,
un cas où le dessin induit en erreur,
comme la célèbre figure dite « du carré manquant
 »
, où une même aire semble avoir des valeurs différentes (cf. par exemple
http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_carré_manquant).

En conclusion, cet ouvrage est à la fois enrichissant,
ludique, et utile.

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