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Probabilités et statistiques pour l’épreuve de modélisation à l’agrégation de mathématiques.

Par Marie-Line Chabanol et Jean-Jacques
Ruch.

Ellipses, septembre 2016.

360 pages en 19 x 24.

ISBN 9782340013063.

Le programme et l’esprit de cette épreuve
orale se veulent moins traditionnels et scolaires
que les classiques «  leçons » et permettent
d’évaluer les aptitudes du candidat à
choisir un modèle et à l’utiliser pour
répondre à des questions concrètes ; lors de
l’épreuve, le candidat doit choisir entre deux
textes de six pages environ présentant un
problème issu d’un domaine extérieur aux
mathématiques ; la modélisation proposée
fait appel aux probabilités et aux statistiques.

Le candidat dispose de 4 heures de préparation
sur le texte, pour laquelle il peut utiliser
une importante bibliothèque et un ordinateur
non relié à internet avec des logiciels usuels.

Il doit ensuite présenter son travail au jury en
40 minutes puis répondre à des questions
durant une vingtaine de minutes.

L’ouvrage est divisé en quatre parties.
La
première présente en 15 chapitres agrémentés
d’exercices consistants (10 de probabilités
et 5 de statistique), un cours de niveau
Licence 3 et parfois master 1 ou 2
(Introduction. Variables aléatoires.
Espérance. Convergence de variables aléatoires.
Espérance conditionnelle. Martingales
et temps d’arrêts. Chaines de Markov.
Processus de Poisson, Vecteurs gaussiens.
Généralités sur les tests. Répartition empirique
et tests. Tests paramétriques. Test du
chi-deux. Régression linéaire)
La seconde partie présente quatre textes
concernant probabilités et statistiques que les
auteurs pensent dans l’esprit du concours
mais dont ils n’ont pas souhaité donner de
corrigé-type parce qu’une solution exhaustive
serait beaucoup trop longue pour être donnée
en 4 heures et présentée en 40 minutes et
que le jury attend du candidat qu’il fasse et
justifie des choix parmi les pistes de l’énoncé.
Ces quatre textes concernent les processus
de branchement et l’évolution d’une
population ; un processus de décision : quand
s’arrêter ? ; le choix dans un arbre ; la régression
saisonnière. Cette partie est la plus originale
de l’ouvrage qui mériterait d’être enrichi
de nouveaux textes dès leur parution.
D’autres exemples figurent sur le site de
l’agrégation ; les candidats sont invités à lire
soigneusement le rapport du jury pour mieux
connaître ses exigences
La troisième réunit 13 fiches de travaux pratiques
donnant des exemples de simulation
des processus rencontrés dans le cours
La quatrième rassemble deux appendices, la
première sur la simulation des variables aléatoires
et la seconde sur le contexte d’apparition
des lois classiques dans les modèles. Je
suis très réservé sur la présentation à des
agrégatifs du premier paragraphe de la première
qui devrait constituer une pierre
d’angle de tout l’édifice. Que signifie « ce
générateur n’est que pseudo-aléatoire au sens
où il est construit sur un algorithme déterministe,
mais il est parfait »
 ?…

Je pense que le lecteur mathématicien souhaiterait
trouver dans le livre ou dans des
références récentes la réponse à deux questions
 :
 Quel est l’algorithme de calcul de rand(1)
dans Scilab ?
 Comment construire une suite de variables
aléatoires indépendantes ?
La réponse faisant intervenir le concept de
« complexité  » d’une suite montre que cette
complexité doit être du même ordre de grandeur
que l’algorithme qui construit la suite,
de sorte qu’il faut faire un compromis entre
complexité et temps de calcul, et ne pas
pousser l’algorithme jusqu’à l’apparition
d’une suite périodique.

Une fois ces point élucidés, ce livre rendra de
grands services aux agrégatifs, et aux étudiants
de maîtrise mais aussi aux professeurs
qui n’ont pas eu l’occasion de fréquenter le
calcul des probabilités durant leur formation
initiale et qui veulent s’y initier et comprendre
le rôle majeur qu’il joue aujourd’hui
dans la simulation de multiples situations.

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