par B.M.
Makarov, M.G. Goluzina, A.A.Lodkin,
A.N. Podkorytov. Traduit du russe par
Éric Kouris.

Cassini 2010.

616 pages en 15 x 22,5.

ISBN : 978-2-84225-124-6, 38 €.

Après quatre préfaces (à l’édition française,
du traducteur, des deux éditions russes) et
une liste des notations, on trouve dans ce
livre 932 énoncés, répartis en dix chapitres
(64 à 174 problèmes par chapitre), chacun
étant divisé en deux à six rubriques, et intitulés
 :
 I. Problèmes introductifs.
 II. Suites.
 III. Fonctions.
 IV. Séries.
 V. Intégrales.
 VI. Développements asymptotiques.
 VII. Fonctions (suite).
 VIII.Mesure de Lebesgue et intégrale de
Lebesgue.
 IX. Suites de fonctions mesurables.
 X. Itérations de transformations d’un intervalle.

Cette première partie occupe moins de 200
pages, c’est dire que les énoncés sont courts :
parfois deux ou trois lignes. Une deuxième
partie, de 370 pages, est intitulée « Indications
et solutions », puis viennent les
« Réponses » (10 pages), bibliographie (6 pages),
table des renvois, index.

La quatrième de couverture dit que les
auteurs « ont la chance de bénéficier à l’université
de Saint-Petersbourg à la fois d’étudiants
d’excellent niveau et d’une grande
liberté dans le choix de leurs sujets », et la
préface à la première édition affirme que ce
recueil « se distingue (…) par la plus grande
difficulté des problèmes » et qu’il est « destiné
avant tout aux étudiants désirant approfondir
leur connaissance de l’analyse et aux
enseignants conduisant des séminaires ». Ces
affirmations se vérifient parfaitement à la
lecture : ici, aucune application directe du
cours, aucun exercice élémentaire ; mais des
questions originales, toujours ouvertes du
point de vue de la méthode, et dans près de
50% des cas ouvertes aussi en ce qui concerne
le résultat ; franchement tournées vers
l’inventivité, la prise d’initiative ; un exemple
(III.1.25) : « Existe-t-il une fonction
continue sur [0, 1] telle que tous les ensembles
où elle est constante soient dénombrables
 ? ». Les problèmes se renvoient fréquemment
l’un à l’autre ; souvent une série
est précédée d’un complément de cours (par
exemple, définition de l’ensemble de Cantor
et de ses généralisations, de la dérivée de
Schwarz, ...). Quelques uns sont des démonstrations
de résultats classiques (irrationalité
de $\pi$, …) ; d’autres introduisent des notions
peu connues (fonctions et suites presque
périodiques…) ; quelques uns font intervenir
les complexes ; beaucoup présentent des
résultats surprenants, intrigants, voire humoristiques
(l’écorce de la pastèque en dimension
100…) ; beaucoup recoupent des domaines
mathématiques différents : arithmétique
et séries, probabilités et intégrales, géométrie
et optimisation, … Le raisonnement et les
calculs ont chacun leur juste place. Les
niveaux visés sont L2-L3 ou CPGE pour les
chapitres I à VII, mais les trois derniers exigent
une bonne connaissance de la théorie de
la mesure, des intégrales de Lebesgue et
autres pré-requis. Beaucoup de ces problèmes
sont utilisables en tant qu’exercices
originaux à l’oral de l’agrégation.

La deuxième partie contient, pour chaque
problème, le plus souvent de simples indications
de méthode (cinq lignes pour l’exemple
III.1.25 ci-dessus), mais parfois des solutions
assez complètes, sans toutefois entrer dans le
détail des calculs ; les Réponses sont très
succinctes (pour l’exemple cité : « oui. »).

De temps à autre on rencontre, surtout en
début de chapitre mais pas seulement, un
problème plus abordable ; il n’a alors en
général ni Indication, ni Réponse.

Je vois au moins quatre façons de se servir de
ce livre : rechercher directement le problème
(toujours commencer par là, mais l’aboutissement
sera souvent réservé aux étudiants de
haut niveau) ; si le sujet n’est pas du type
« démontrer que… », consulter la réponse
mais pas les indications (ainsi « on sait où on
va ») ; au contraire, suivre la méthode suggérée
par les indications pour rechercher la
réponse ; enfin, consulter indication et réponse,
et s’efforcer de rédiger une solution complète
et détaillée ; même dans ce cas, la
recherche sera souvent longue !

Grâce à cette
somme colossale, à laquelle on pardonnera
quelques légères et rares ambiguïtés dans les
énoncés ou définitions, plus d’un étudiant
travaillera ainsi efficacement pendant bien
des heures, développant son savoir, ses
savoir-faire et sa créativité mathématiques.
Mais débutants et paresseux s’abstenir.