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Problèmes d’antan 6 (Première partie)

En feuilletant les anciens bulletins de notre association, on trouve des sujets
d’exercices et de problèmes. Nous publierons dans chaque Bulletin Vert des exemples
de ces exercices d’antan.

Envoyez vos propositions de solutions à frechetm.apmep@wanadoo.fr. Les
meilleurs seront publiées.

Le problème « antan 6 » étant suffisamment riche, et comme aucune réponse ne
m’est parvenue, je ne donnerai que ma solution pour la première question. Nous
attendons vos solutions pour les deux autres questions.

Agrégation des sciences mathématiques des jeunes filles :
Arithmétique, Algèbre et Géométrie
(4 heures)

On considère quatre
points A, B C et D d’une circonférence de centre O.

  1. Comparer au quadrilatère ABCD le quadrilatère dont les sommets sont les
    points de rencontre des hauteurs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.
  2. Démontrer que les projections orthogonales du point A sur les côtés du triangle
    BCD sont sur une droite (a), et que cette droite (a) est parallèle à la droite
    joignant B au second point où la perpendiculaire menée de A à CD coupe la
    circonférence O.
    Démontrer en outre que la droite (a) et les droites analogues (b), (c) et (d)
    passant par les projections de B, C et D sur les côtés des triangles CDA, DAB
    et ABC sont concourantes.
    Comparer le faisceau (a), (b), (c) et (d) au
    faisceau OA, OB, OC et OD.
  3. Étudier la figure formée par les centres des seize circonférences tangentes aux
    côtés de chacun des triangles BCD, CDA, DAB, ABC.

Télécharger la solution de la première question

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