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Problèmes de distributions et d’équations aux dérivées partielles.

par Claude Zuily.

Cassini, collection Enseignement des mathématiques,
n° 30, décembre 2010.

270 p. en 15 x 22,5. Prix : 18€.

ISBN : 978-2-84225-149-9.

Ce recueil de 106 exercices est divisé en sept
chapitres présentant chacun successivement
en quelques lignes le programme, puis
quelques pages de rappels, les énoncés et les
solutions détaillées ; quelques exercices se
renvoient entre eux mais chacun d’eux guide
le lecteur pas à pas sans lui ouvrir des choix
ou des perspectives ouvertes.

  • 1. Préliminaires (Espaces $C^k$, formules de
    Leibniz et de Taylor).
  • 2. Les distributions (Exemples, ordre et support,
    image par une application linéaire, produit
    par une fonction , division par x).
  • 3. Dérivation des distributions (Solutions
    élémentaires d’opérateurs différentiels, primitive,
    formule de Gauss-Green, structure
    locale).
  • 4. Convergence des suites de distributions.
  • 5. Convolution des distributions.
  • 6. Transformation de Fourier (des distributions
    tempérées, à support compact,
    Théorème de Paley-Wiener-Schwartz,
    convolution et opérateurs différentiels).
  • 7. Espaces de Sobolev et applicationsOpérateurs elliptiques, hypoellipticité,
    spectre singulier d’une distribution).

Une courte bibliographie mentionne deux
livres de Laurent Schwartz, consacrés au
sujet qui lui valut la médaille Fields en 1950.

Précisons que la première édition du
« Théorie des distributions » remonte à 1950-
51 ; et que, moins de trois ans plus tard,
Laurent Schwartz attirait à Paris de nombreux
et brillants physiciens dans un cours
révolutionnaire de « Méthodes mathématiques
de la physique
 » où il justifiait avec
rigueur des pratiques de calcul pour le moins
hasardeuses, suivant la même démarche que
dans cet ouvrage.

Les solutions sont claires et complètes, précédées
par quelques indications pour les
questions les plus difficiles signalées par un,
voire deux, astérisques.

L’ouvrage recouvre largement toutes les
connaissances que l’on peut acquérir dans un
master 1 et il me semble indispensable qu’un
candidat à l’agrégation, interne ou externe
s’y exerce régulièrement.

Le titre est un peu trompeur car le livre fait
une place réduite aux équations aux dérivées
partielles ne mentionnant pas les travaux de
Jacques-Louis Lions et de tous ses élèves et
leurs nombreux domaines d’application.de la
mécanique des fluides à la météorologie, de
l’imagerie médicale à la nano physique.

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