494
Problèmes du BV 494 et solutions des 487-2, 488-2
Énoncés des nouveaux problèmes
Problème 494–1
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{Z}[X]$ tels que l’équation
$$|P(k)|=1$$
admette n racines distinctes dans $ \mathbb{Z}$. Montrer que$$n-\text{deg(P)} \le 2$$
voir l’article où est publiée la solution
Problème 494–2 (Question de Jean-Christophe Laugier)
Démontrer, de manière combinatoire si possible, l’égalité suivante, valable pour tous les entiers n, k supérieurs ou égaux à 1 :
$$\sum_{\substack{u_1+u_2+...+u_k=n \\ u_1,u_2,...u_k \in \mathbb{N}^*}}^{n} u_1u_2...u_k=\binom{n+k-1}{2k-1}$$
Solutions de Jean-Claude Blanchard (Brunoy), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean-Christophe Laugier (Rochefort), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).
voir l’article où est publiée la solution
Problème 494-3 (Question de Moubinool Omarjee)
Pour t > 0, on définit
$$H(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n !(n+1) !}$$
Montrer que
$$H(t) \sim \frac{1}{2\sqrt\pi} \frac{e^{2\sqrt t}}{t^\frac{3}{4}}$$
voir l’article où est publiée la solution
Solutions des problèmes antérieurs
Problème 487-2 (Question de Michel Lafond)
On définit la suite $u$ par $u_0 \in [0,1]$ et pour tout $n \in \mathbb N$, $u_{n+1} = 2 min(u_n, 1 − u_n)$.
Démontrer que pour tout $n \in \mathbb N$,
$$u_n=\frac{1}{\pi}\arccos{\big ( \cos{(2^n \pi u_0)} \big ) }$$
Problème 488-2
Soit u la suite définie par $u_0$ = 1 et $u_{n+1}=4u_n+\sqrt{15 u_n^2+1}$ . Cette suite est-elle à valeurs entières ?
