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Problèmes du BV 502

et solutions des 493-2 et 496-2

Hochart Max

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 502–1 (Gauthier Gidel, Alexandre Benchaouine, Benoît Joly)
Soit $n \in \mathbb N$* , $x_1, …, x_n$ des réels strictement positifs et $p_1, …, p_n$ des réels strictement positifs de somme 1. Pour tous les réels S et t vérifiant, pour tout $i \in [[1, n]]$,

$$S \le \sqrt{x_i} \le S+t$$

montrer que

$$\frac{1}{\sum_\limits{i=1}^{n} \frac{p_i}{x_i} } \le \sum_\limits{i=1}^{n} p_i x_i \le \frac{1}{\sum_\limits{i=1}^{n} \frac{p_i}{x_i} } + t^2$$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 502–2 (Michel Lafond (Dijon))
Soit p et q deux entiers premiers entre eux et impairs. Un damier rectangulaire $p \times q$ a ses cases colorées alternativement en noir et blanc, les quatre coins étant noirs. Une diagonale $\Delta$ est tracée. Une partie de $\Delta$ est noire, l’autre est blanche. Démontrer que la proportion de noir le long de D est égale à $\frac{1}{2} \left ( 1+ \frac{1}{pq} \right )$

voir l’article où est publiée la solution

Problème 502–3 (Jean-Claude Blanchard (Brunoy))
Pour $n \in \mathbb N$, calculer le pgcd de $2^n + 3^n$ et de $5^n$.

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Problème 502–4 (G.L. Kocher, Ravières)
On suppose que le trinôme $ax^2 + bx + c$ possède deux racines réelles distinctes. En déduire les solutions de l’équation

$$a(ax^2+(b+1)x+c)^2+b(ax^2+(b+1)x+c)+c-x=0$$

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Solutions des problèmes antérieurs

Problème 493–2 (Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg))
Dans le plan euclidien, soit $\Gamma$ un cercle de centre O, et soit U et V deux points distincts, alignés avec le centre O. À partir d’un point A du cercle $\Gamma$, on trace la droite (AU) qui recoupe $\Gamma$ en un point B ; on trace la droite (BL) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point C ; on trace la droite (CV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $A_1$.
Puis l’on recommence : on trace la droite ($A_1$ U) qui recoupe $\Gamma$ en un point $B_1$ ; on trace ($B_1L_1$) perpendiculaire à (UV) qui recoupe $\Gamma$ en un point $C_1$  ; on trace ($C_1$V), etc. Est-il possible que la ligne polygonale $ABCA_1B_1C_1A_2B_2C_2$… se referme en un point $A_n$ pour un entier naturel n ? Autrement dit, existe t-il n $\in \mathbb N$ tel que $A_n$ soit confondu avec A ?

Solutions de Jean-Pierre Friedelmeyer (Strasbourg), Georges Lion (Wallis), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Le problème de Castillon a été généralisé au début du 19e siècle de trois manières : en remplaçant le cercle par une conique quelconque, en demandant d’inscrire un polygone d’un nombre N de côtés passant par N points donnés, en posant le problème dual, c’est-à-dire : circonscrire un polygone de N côtés à une conique, dont les sommets soient situés sur N droites données. Ce qui fait que ce problème est alors représentatif des méthodes de la géométrie projective naissante. Sa solution moderne repose sur la détermination des points fixes d’une homographie. »

Problème 496-2
Pour $n \in \mathbb N$ et $k \in [ 0, {n} ]$, on note $\binom{n}{k}$ le coefficient binomial $\frac{n!}{k!(n-k)!}$. Pour tout nombre premier p, établir les relations suivantes :
1. $\binom{p-1}{k} \equiv (-1)^k \mod p$ pour tout entier $k \in$ $[[0, p - 1]]$ ;
2. $\binom{p+1}{k} \equiv 0 \mod p$ pour tout entier $k \in$ $[[2, p - 1]]$ ;
3. $\binom{2p}{p} \equiv 2 \mod p$ ;
4. $\binom{pa}{pb} \equiv \binom{a}{b} \mod p$ pour $a, b \in \mathbb N$ avec a ≥ b.

Solutions de Jean-Claude Carréga (Strasbourg), Bernard Collignon (Coursan), François Couloigner (Tarbes), Paul Péchoux, Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)