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Problèmes du n° 480

Hochart Max

Problème 480-1

Montrer que la distance minimale entre un point du cercle de rayon r > 0 centré en l’origine et un point du réseau $ \mathbb{Z} $ tend vers 0 quand r tend vers $+\infty$.

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Problème 480-2

Pour $ n \in \mathbb{N^{*}}$, $S_n$ désigne le groupe des permutations de l’ensemble [1,n]. Pour chaque permutation $\sigma \in\ S_n$ on note $\omega(\sigma )$ le nombre d’orbites de $\sigma$ . Factoriser le polynôme

$P_ {n}(X) = \sum _{\sigma \in\ S_n} X^{\omega(\sigma )}$

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Problème 480-3 (question de Fernand Canonico)

Soit k, $n \in\mathbb{N}$. Est-il vrai que le n-ième terme de la suite de Fibonacci (définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$) est divisible par $5^k$ si et seulement si n l’est ?

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)