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Problèmes n° 299 et n° 300 du BV 450

et solutions des n° 291 et 292

François LO JACOMO

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n° 299 (Abderrahim OUARDINI, 33-Talence)

Étant donnés $n$ points sur une sphère (S) de rayon R, $n ≥ 3$, on en choisit deux, et l’on construit le plan perpendiculaire à leur segment et passant par l’isobarycentre des $(n − 2)$ restants.
Montrer que tous les plans ainsi construits ont un point commun, et que la puissance de ce point par rapport à (S) vaut :

$$ \dfrac{4(n-1)R^2 - K}{(n-2)^2}$$

où K est la somme des carrés des distances mutuelles des $n$ points.
voir le BV où est publiée la solution

Énoncé n° 300 (Moubinool OMARJEE, 75-Paris)

Soit $ a_n$ , pour $n ≥ 1$, une suite d’entiers naturels tels que :

$$ \sum_\limits{d|n} a_d = 2^n .$$

Montrer que pour tout $n$, $n$ divise $a_n$ .
voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n° 291 (François LO JACOMO, 75-Paris)

Soit ABC un triangle, O et $R$ le centre et le rayon du cercle circonscrit, H l’orthocentre et H ′ le symétrique de H par rapport à O. Montrer que le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits sont intérieurs au cercle de centre H ′ et de rayon $4R$.
Peut-on améliorer ce résultat ?

Solution

Énoncé n° 292 (Jean FARGEAS, 17-La Rochelle et Hassan TARFAOUI, 86-Poitiers)

Soit trois réels $a, b, c$ strictement positifs tels que $a + b + c = 1$. Démontrer que :

$$\left( a+\frac{1}{a}\right) ^2 + \left( b+\frac{1}{b}\right) ^2 + \left( c+ \frac{1}{c}\right) ^2 \ge \frac{100}{3} $$

Comment peut-on généraliser cet exercice ?

Solution

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)