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Problèmes n°305 et 306 et solutions des n° 297, 298

Indications sur des énoncés déjà publiés

Énoncé 303 (médianes d’un quadrilatère : 5 ≤ aire(Q) /aire(q) < 6) :

Le rapport vaut 5 si le petit quadrilatère q est un trapèze, il tend vers 6 si Q et q
tendent vers des triangles.

Énoncé 304 ($ 2x^2 + 1 = y^ n $) :

Peut-on factoriser le premier membre ?

Énoncés des nouveaux problèmes

Énoncé n°305 (Pierre DUCHET, 75-Paris)
En appelant « sphinx » et « parallélogramme » les deux formes que voici :

a) Peut-on paver complètement un triangle équilatéral, de côté n, avec des sphinx ?
b) Combien peut-on placer (au maximum) de parallélogrammes à l’intérieur d’un
hexagone régulier de côté n ?
Dans les deux cas, les pièces ne doivent pas se recouvrir. Elles peuvent être pivotées
et retournées.
voir le BV où est publiée la solution

Énoncé n°306 (Pierre PARO, 83-St Raphaël)
Une droite ( ∆ ) coupe en
α,
β,
γ les trois côtés (BC), (CA) et (AB) d’un triangle ABC.
Soient A ′ , B ′ , C ′ les projections orthogonales de A, B, C sur ( ∆ ). Montrer que la
droite ( ∆ ) est une droite de Simson relativement au triangle ABC si et seulement si
les segments [A ′α], [B ′β] et [C ′γ] ont même milieu.

voir le BV où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Énoncé n°297 (Jacques BOUTELOUP, 76-Rouen)
On considère quatre cercles du plan tangents deux à deux en des points distincts.
1) Démontrer que trois d’entre eux sont tangents extérieurement deux à deux, le
quatrième étant soit tangent extérieurement, soit tangent intérieurement à chacun des
trois autres.
2) On désigne par $z_i$
les affixes des centres dans une représentation complexe du plan
euclidien, par $r_i$
leurs rayons et l’on pose $c_i = -\dfrac{1}{r_i}$ lorsque le cercle correspondant
est tangent intérieurement aux trois autres, $c_i = \dfrac{1}{r_i}$ dans les autres cas. Démontrer les
relations :

$$2 \sum c_i ^{2}=(\sum c_i)^2 \quad (1)$$


$$2 \sum c_i ^{2}z_i=(\sum c_i) (\sum c_i z_i) \quad (2)$$


$$2 \sum (c_i z_i)^{2}=(\sum c_i z_i)^2 \quad (3)$$


Solution

Énoncé n°298 (Pierre BORNSZTEIN, 78-Maisons-Lafitte)
Soit $n \ge 7$ un entier, et S un ensemble de $n$ points du plan tels que, parmi cinq
quelconques de ces points, on puisse toujours en trouver quatre qui soient
cocycliques. Montrer qu’au moins $n − 1$ de ces points sont cocycliques.

Solution

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