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Processus aléatoires pour les débutants.

par Arthur Engel, traduction révisée de
Wahrsheinlichkeitsrechnung und statistik
Bd2, Ernst Klest, 1976 d’après une première
traduction d’Eliane Zaïbak :

L’enseignement des probabilités et de la statistique
publiée par Cedic-Nathan en 1978.
Cassini, collection L no 2, avril 2011.

342 p. en 12,5x 19.
ISBN : 978-2-84225-090-4, 15€.

Cette nouvelle édition d’un des ouvrages à
succès publiés par CEDIC dans sa collection
Formation des maîtres il y a une trentaine
d’années, en reprend le texte et les nombreuses
figures tout en modernisant l’avant-propos,
la table des matières et la bibliographie
 :
 1) Un cours accéléré de Probabilités.
 2) Compléments mathématiques (séries géométriques,
logarithme, Stirling).
 3) Chaînes de Markov (espaces probabilisés
dénombrables, changements d’états).
 4) Promenades aléatoires sur une droite,
retour à l’origine, mouvement brownien.
 5) Réduction de graphes, formule de Mason.
 6) Fonctions génératrices (définition, lois
géométrique, de Pascal, binomiale, temps
d’attente).
 7) Nombres aléatoires (générateur, aiguille
de Buffon, rencontre).
 8) Processus de branchement (définition,
extinction, cas critique).
 9) Étude génétique des populations (lois de
Mendel et de Hardy-Weinberg, consanguinité).
 10) Processus de Poisson et loi exponentielle.
 11) Processus de naissance et de mort, files
d’attente.
 12) Comportement asymptotique des chaines
de Markov à deux puis N états, modèle
d’Ehrenfest.
 13) Le théorème limite central pour le lancer
d’une pièce, la loi de Poisson et la loi binomiale.
 14) Test d’arrêt optimal (choix d’une secrétaire).
 15) Probabilités et théorie des nombres.
 16) Une nouvelle méthode pour les chaines
de Markov absorbantes ou non.

Chaque chapitre comporte une vingtaine
d’exercices assez brefs et la plupart sont
résolus en fin d’ouvrage. Quatre pages d’index
facilitent la recherche d’une définition
ou d’une propriété.

Quand la première édition est parue, en 1978,
beaucoup d’étudiants, en particulier en
mathématiques, arrivaient en fin d’étude sans
aucune formation en calcul des probabilités
et celui-ci tenait une place minime au lycée.

Il n’en est plus de même aujourd’hui et l’utilisation
systématique des arbres et graphes
ainsi que des générateurs de suites pseudo- aléatoires
font de la lecture de cette seconde
édition une nécessité pour qui veut comprendre
l’enchainement des expériences, présenter
à des débutants des exemples pertinents
de processus et entreprendre une étude
détaillée des chaînes de Markov finies. Je la
recommande donc vivement à tous les enseignants
et en particulier aux candidats au
CAPES.

Je me permets une remarque : pour obtenir
une réalisation d’un processus, l’auteur utilise
systématiquement et dès la première page,
les lancers successifs d’une roue de loterie de
périmètre unité et je pense que c’est très pertinent
du point de vue didactique. Il figure
cette roue par un cercle surmonté d’une
flèche passant par son centre, différents
angles au centre dont la réunion est le disque
entier permettent de matérialiser les valeurs
possibles d’une variable aléatoire. Mais rien
n’est précisé sur la réalisation physique
d’une telle roue, ni sur le lancer de l’aiguille,
ni donc sur la façon de s’assurer que sa position
d’arrêt est uniformément répartie sur le
cercle. or ceci est loin d’être évident et suppose
des conditions sur l’impulsion initiale
qui ne doit être ni trop faible ni trop forte ; ce
point aurait mérité d’être soulevé, voire élucidé.

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