Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux mathématiques, provenir de l’histoire des mathématiques, être issus des autres disciplines ou du monde réel, en prenant en garde que la simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de développer les connaissances et compétences mathématiques du programme. (Programme, préambule, extrait)

Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur pourra, s’il le désire, s’appuyer sur l’étude de documents historiques. (Programme, préambule, extrait)

 

Algèbre

Bien avant de faire l’objet d’une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations :
 approximation de nombres réels (encadrement de pi par Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d’Alexandrie) ;
 problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci, etc.).

Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIVe siècle.

On trouve chez Diophante, puis chez Al-Khwârizmî, des méthodes de résolutions d’équations du second degré. Le travail novateur d’Al-Khwârizmî reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l’état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l’absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Histoire et épistémologie des mathématiques : les mathématiques dans la culture d’une époque. Algorithmes de calculs chez Archimède. Etude de « La mesure du cercle ». p. 132-142.

Auteur : Bühler Martine

 

Fibonacci - Extraits du Liber abaci.

Auteur : Moyon Marc

 

4000 ans d’histoire des mathématiques, les mathématiques dans la longue durée. Un support historique pour l’étude des suites en première. p. 487-512.

Auteur : Hély Jean-Yves (Article en ligne)

 

Revue d’histoire des mathématiques. Num. 23. Vol. 2. p. 233-299. La restauration et la comparaison, ou l’art de résoudre des équations quadratiques dans l’Europe latine.

Auteur : Moyon Marc

 

4000 ans d’histoire des mathématiques, les mathématiques dans la longue durée. Un problème de Diophante au fil du temps. p. 41-55.

Auteur : Guichard Jean-Paul (Article en ligne)

 

History and epistemology in mathematics education : proceedings of the 5th European Summer University. Viète and the Advent of Literal Calculus. p. 475-487. (Viète et l’introduction du calcul littéral.)

Auteur : Guichard Jean-Paul (Article en ligne)

 

Analyse

Le calcul différentiel s’est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d’origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation). Le développement d’un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d’infiniment petit. Ce n’est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles, qui en fondent l’exposé actuel, ont été clarifiées au XIXe siècle.

 

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVIIe siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l’équation différentielle y’ = y, et la condition initiale y(0) = 1.

 

La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens dans des problèmes de natures diverses (géométrie, géographie, astronomie). Elle est à l’époque fondée sur la fonction corde, d’un maniement bien moins facile que les fonctions sinus et cosinus de la présentation actuelle. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Quatrième Université d’Eté d’Histoire des Mathématiques. Nature et fondement des différentielles leibniziennes. p. 257-264.

Auteur : Parmentier Marc (Article en ligne)

 

Histoire et épistémologie dans l’éducation mathématique : de la maternelle à l’université. V. 2. L’invention du calcul différentiel, racontée par Leibniz. p. 445-459.

Auteur : Michel-Pajus Anne (Article en ligne)

 

Pot pourri : activités historico-mathématiques. Candide face à l’infiniment petit : une introduction de la dérivation avec des textes anciens. p. 49-68.

Auteur : Métin Frédéric (Article en ligne)

 

Losanges. Num. 3. p. 31-37. L’exponentielle : une fonction à plusieurs facettes.

Auteurs : Bair Jacques ; Henry Valérie (Article en ligne)

 

De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet. Une approche graphique de la méthode d’Euler. p. 139-155.

Auteur : Tournès Dominique

 

L’Ouvert. Num. 91. p. 10-16. Petite histoire de la trigonométrie.

fiche Publimath

Auteur : Lefort Jean

 

Géométrie

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparait chez Leibniz au cours de ses recherches sur l’élaboration d’un calcul des variations. Le XIXe siècle voit l’élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique.

Le calcul vectoriel et le produit scalaire donnent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, avec l’avantage de combiner vision géométrique et calcul.

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques. La caractérisation du cercle de diamètre AB comme ensemble des points M tels que le triangle AMB soit rectangle en M semble remonter à Thalès. Mais ce n’est qu’au XVIIe siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées et écrit l’équation d’un cercle en repère orthonormé. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Circulation, transmission, héritage. L’enseignement des vecteurs au XXe siècle : diversité des héritages mathématiques et circulation entre disciplines. p. 201-216.

Auteurs : Boyé Anne ; Moussard Guillaume

 

Histoire du calcul de la géométrie à l’algèbre. Des origines de la géométrie analytique. p. 79-100

Auteur : Plane Henry

 

Contribution à une approche historique de l’enseignement des mathématiques. Quelles sont les courbes que l’on peut recevoir en géométrie ? p. 109-143.

Auteur : Friedelmeyer Jean-Pierre (Article en ligne)

 

Analyse et démarche analytique. Lecture en classe de la Géométrie de Descartes. p. 103-112.

Auteurs : Hallez Maryvonne ; Jozeau Marie-Françoise (Article en ligne)

 

Probabilités et statistique

Les probabilités conditionnelles peuvent être l’objet d’un travail historique en anglais ; elles apparaissent en effet dans des travaux de Bayes et de Moivre, écrits en anglais au XVIIIe siècle, même si c’est Laplace qui en a élaboré la notion. Les questions traitées par ces auteurs peuvent parfois surprendre (exemple : quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu’il s’est levé depuis le commencement du monde ?) ; néanmoins, les probabilités conditionnelles sont omniprésentes dans la vie courante et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations.

L’histoire des probabilités contribue à la réflexion sur la codification d’une théorie scientifique. On peut considérer que les origines du « calcul des probabilités » remontent au XVIIe siècle. Pascal, Huygens, Moivre, Bernoulli, Euler, d’Alembert appliquent les notions de variable aléatoire et d’espérance à des problèmes issus de questions liées aux jeux, aux assurances et à l’astronomie.

Ce n’est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d’univers, s’est imposée. Elle permet une formalisation souple dans laquelle l’univers joue le rôle de « source d’aléas ».

La notion de variable aléatoire, présente sans définition précise depuis l’origine de la discipline, apparaît alors comme une fonction définie sur l’univers. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Actes de l’université d’été sur l’histoire des mathématiques. Toulouse. Remarques sur l’Essai de Bayes en vue de résoudre un problème de la doctrine des chances. p. 109-135.

Auteur : Cléro Jean-Pierre (Article en ligne)

 

Histoires de probabilités et de statistiques. La portée physique et sociale de la règle de Bayes. p. 55-73.

Auteur : Cléro Jean-Pierre

 

De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet. Probabilité des causes à partir de Condorcet. p. 117-135.

Auteur : Hamon Gérard

 

Histoires de probabilités et de statistiques. Galilée ou Descartes ? Etude d’un scénario d’introduction historique au calcul des probabilités. p. 275-296.

Auteur : Butz Eric

 

Histoires de probabilités et de statistiques. Laplace et la Théorie analytique des probabilités : itinéraires de découverte. p. 197-224.

Auteur : Lubet Jean-Pierre

 

Le Miroir des maths. Num. 9. p. 13-24. Le jeu de la baguette de Buffon.

Auteurs : Bessot Didier ; Trotoux Didier (Article en ligne)

 

Algorithmique et programmation

De nombreux textes témoignent d’une préoccupation algorithmique au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

La pensée algorithmique. Un regard historique.

Auteurs : Allegraud Serge ; Farjot Catherine ; Tazzioli Rossana ; Lubet Jean-Pierre ; Marmier Anne-Marie ; Bkouche Rudolf

 

Histoire d’algorithmes : du caillou à la puce.

Auteur : Chabert Jean-Luc. Dir.

 

Géométrie en Inde dans les Sulbasutras. La géométrie du sacrifice en Inde védique dans les Sulbasutras. Exemple : l’algorithme de l’agrandissement de l’autel en forme de faucon.

Auteur : Keller Olivier

Fiche Publimath : Géométrie en Inde dans les Sulbasutras. La géométrie du sacrifice en Inde védique dans les Sulbasutras. Exemple : l’algorithme de l’agrandissement de l’autel en forme de faucon.