Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux mathématiques, provenir de l’histoire des mathématiques, être issus des autres disciplines ou du monde réel, en prenant en garde que la simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de développer les connaissances et compétences mathématiques du programme. (Programme, préambule, extrait)

Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur peut s’appuyer sur l’étude de documents historiques. (Programme, préambule, extrait)

 

Nombres et calculs

La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. Deux exemples : la crise provoquée par la découverte des irrationnels chez les mathématiciens grecs, la différence entre « nombres réels » et « nombres de la calculatrice ».

Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’une fois ce formalisme stabilisé au cours des siècles. Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Titre : Sur la démonstration de l’irrationalité chez les grecs

dans La démonstration mathématique dans l’histoire, p. 389-423.

Auteur : Daumas Denis

Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe, extraits de manuels, chronologie.

On trouvera la description de 7 activités pour des classes de lycée dans le document en ligne Contribution à une approche historique de l’enseignement des mathématiques. Activités en classe à partir de textes historiques sur l’irrationalité : de Pythagore à Théon de Smyrne.

Une mise en œuvre détaillée en classe figure dans De Pythagore à Théon de Smyrne. Quelques jalons sur la découverte de l’incommensurabilité et de son traitement dans les mathématiques grecques.

Points du programme abordés : Irrationalité de racine de 2 (différentes preuves) ; algorithme de Héron ; approximation de racines carrées.

 

Titre : De la théorie des proportions à la théorie des nombres réels.

dans La mémoire des nombres, p. 295-318.

Auteure : Cousquer Eliane

Document pour le prof : Présentation des difficultés posées par la notion de nombre au cours de l’histoire.

 

Titre : « Descartes a dit » - Utilisation d’extraits de La Géométrie en classe de seconde .

dans Bulletin de l’APMEP n°463. p. 186-192.

Auteur : Waehren Gilles

Fiche Publimath : Bulletin de l’APMEP. N° 463. p.186-191. Descartes a dit.

Document pour la classe  : Devoir maison basé sur les extraits de La Géométrie de Descartes : construction de la multiplication, de la division et de la racine carré. Analyse de réponses des élèves, difficultés et points positifs.

Points du programme abordés : notion de nombre, rapports, racine carré, calculs numériques et littéraux, réinvestissement des théorèmes de Thalès et de Pythagore, des triangles semblables.

 

Titre : Qu’est-ce que l’algèbre ? Un domaine ou un langage ?

dans L’algèbre au lycée et au collège, p. 40-57.

Auteur : Guichard Jean-Paul

Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Viète, Descartes.

Points du programme abordés : calcul littéral (suggestions d’activités)

 

Titre : D’un problème de Diophante aux identités remarquables

dans Repères-IREM, n°53, p. 5-19.

Auteur : Guichard Jean-Paul

Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Diophante, Viète, extraits de manuels, exemples d’activités pour la classe.

Points du programme abordés : identités remarquables, résolution d’équations

 

Titre : François Viète. De l’algèbre numéreuse à l’algèbre spécieuse

dans Tangente n°166. p. 54-57.

Auteur : Guichard Jean-Paul

Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Viète

Points du programme abordés : identités remarquables, résolution d’équations

 

Géométrie

Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de Descartes, puis par la notion de vecteur, permettent de relier efficacement géométrie, physique et calcul.

On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration ainsi que le faible développement de l’algèbre sous l’Antiquité, en partie dû à l’appui systématique sur la géométrie. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Titre : De la zététique à la géométrie analytique

dans Les mathématiques ne se font pas faites en un jour… T. 5. Cinquième promenade historique.

Auteurs : Barbin Evelyne ; Boyé Anne ; Charbonnel Anne-Marie ; Comairas Marie-Céline ; Grenapin Hélène ; Bénard Dominique. Préf.

 

Titre : Autour de la géométrie analytique

dans La figure et la lettre, p. 279-297.

Auteure : Boyé Anne

 

Titre : La géométrie d’Euclide en classe de Seconde

Auteur : Laurent Frédéric

dans De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet, p. 27-44.

 

Fonctions

On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de fonction, depuis l’Antiquité jusqu’à la codification actuelle par Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes : Newton, Leibniz, Euler. On souligne alors l’importance de la notation algébrique. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Titre : Le concept de fonction au fil du temps

dans Losanges n°5. p. 11-20.

Auteurs : Bair Jacques ; Henry Valérie

Document pour le prof : Les grandes étapes de la construction de la notion de fonction, avec le détail des rôles des protagonistes cités dans le programme ; en conclusion quelques réflexions sur la difficulté du concept et les obstacles épistémologiques en relation avec son enseignement.

 

Titre : Histoires de symboles.

Auteur : Guichard Jean-Paul

Document pour le prof : Sur plusieurs symboles maintenant usuels (comme l’égalité, les parenthèses, la racine carrée, les inconnues etc.), leurs anciennes notations, leur apparition, leur usage ; nombreux extraits de textes historiques où ils interviennent. Quelques extraits sont en ligne sur le site de l’IREM de Poitiers.

Le quinzième épisode, A propos de fonctions, donne la terminologie de Cauchy pour définir fonction, extremums, fonction continue, limite, dérivée.

Le document 5, Fonctions : 300 ans de définitions, permet de se faire une idée de l’évolution de la définition d’une fonction de Newton à Bourbaki.

 

Titre : Galilée, les satellites de Jupiter, pour une introduction à la notion de fonction en classe de Seconde.

dans Mnémosyne n°11. p. 71-73.

Auteurs : Bühler Martine ; Plane Henry

Document pour la classe : Extrait d’un document de Galilée ; activité de découverte d’une fonction non définie algébriquement ; comparaison des données de Galilée aux connaissances actuelles.

 

Statistiques et probabilités

L’histoire des probabilités fournit un cadre pour dégager les éléments de la mathématisation du hasard. Un exemple est le problème des partis, dit aussi du chevalier de Méré, l’échange de lettres entre Pascal et Fermat sur ce point puis les travaux de Pascal, Fermat et Huygens qui en découlent. Le problème du duc de Toscane ou les travaux de Leibniz sur le jeu de dés peuvent aussi être évoqués. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Sur le problème du duc de Toscane

Titre : Des Probabilités avec Galilée.

dans Bulletin de l’APMEP n°509. p. 245-252.

Auteure : Bühler Martine

Fiche Publimath : Bulletin de l’APMEP. N° 509. p. 245-252. Des Probabilités avec Galilée.

Document pour le prof : Compte-rendu de travail interdisciplinaire en classe de seconde avec des textes historiques ; fiches-élèves et fiche de synthèse.
Complément : Sujet Bac A1 Lille, septembre 1985.

Points du programme abordés : problème du Duc de Toscane, fréquence, arbre de dénombrement, probabilité sur un ensemble fini.

 

Sur le problème des partis

Titre : Probabilités : un problème historique en classe.

dans Bulletin de l’APMEP n°514. p. 264-274.

Auteure : Bühler Martine

Fiche Publimath : Bulletin de l’APMEP. N° 514. p. 264-274. Probabilités : un problème historique en classe.

Document pour le prof : Compte-rendu de travail sur un problème historique en classe ; fiches-élèves et extraits de copie d’élèves.
Complément : le diaporama pour la correction de l’activité en classe. Supplément :
Sujet Bac A1 Lille, septembre 1985.

Points du programme abordés : probabilités (problème des partis).

 

Textes de Pascal, Fermat, Huygens, Galilée, Bernoulli, D’Alembert

Titre : Textes historiques pour aborder les probabilités en seconde

Auteure : Chevalarias Nathalie

Fiche Publimath : …

Document pour le prof et les élèves : Les textes correspondent à un parcours sur les probabilités expérimenté en classe de seconde
Points du programme abordés : dénombrement, équiprobabilité, notion, d’espérance, notion de modèle, liens entre statistiques et probabilités, simulation, intervalle de fluctuation.

 

Algorithmique et programmation

Les textes évoqués dans la thématique « Nombres et calculs » indiquent une préoccupation algorithmique tout au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

 

Titre : Le calcul figuré de l’ancien âge babylonien et de la Chine des Han.

Auteur : Keller Olivier

Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe ; 9 problèmes du second degré, babyloniens et chinois, résolus de façon algorithmique, avec, pour chacun, une explication algébrique et une figuration géométrique.

Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer ; utiliser les variables et des fonctions élémentaires ; utiliser le calcul littéral.

 

Titre : Algorithmique et programmation au cycle 4 à partir des grandeurs.

Auteur : IREM de Poitiers Groupe collège

Document pour le prof : La partie 4 contient 20 problèmes variés qui peuvent donner lieu à des activités en classe (multiplication, équation du premier degré, partage, calculs de longueurs, aires, volumes, prix) ; ils sont tirés de papyri égyptiens, de mathématiciens alexandrins (Héron, Théon), des Neufs chapitres de la Chine ancienne, et sont traités de façon algorithmique.

Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer ; utiliser les variables et des fonctions élémentaires ; utiliser le calcul littéral (racines carrées, identités remarquables, fractions) ; résoudre des problèmes de géométrie.

 

Titre : Histoire des mathématiques pour les collèges.

Auteurs : Hocquenghem Marie-Louise ; Asselain-Missenard Claudie ; Missenard Didier ; Monnet Françoise ; Serfati Anne-Marie ; Tartary Gérard

Document pour la classe : de très nombreuses activités (voir le sommaire détaillé) qui peuvent donner lieu à un travail algorithmique et de programmation.

Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer.

 

Titre : Résolutions arithmétiques et algébriques de problèmes anciens

dans Bulletin de l’APMEP n°511. p. 577-596.

Auteure : Michel-Pajus Anne

Fiche Publimath : Bulletin de l’APMEP. N° 511. p. 577-596. Résolutions arithmétiques et algébriques de problèmes anciens.