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Programmes 2019 pour la seconde

Les problèmes proposés aux élèves peuvent être internes aux mathématiques, provenir de l’histoire des mathématiques, être issus des autres disciplines ou du monde réel, en prenant en garde que la simple inclusion de références au monde réel ne suffit pas toujours à transformer un exercice de routine en un bon problème. Dans tous les cas, ils doivent être bien conçus et motivants, afin de développer les connaissances et compétences mathématiques du programme. (Programme, préambule, extrait)
Il peut être judicieux d’éclairer le cours par des éléments de contextualisation d’ordre historique, épistémologique ou culturel. L’histoire peut aussi être envisagée comme source féconde de problèmes clarifiant le sens de certaines notions. Les items « Histoire des mathématiques » identifient quelques possibilités en ce sens. Pour les étayer, le professeur peut s’appuyer sur l’étude de documents historiques. (Programme, préambule, extrait)

Nombres et calculs

La notion apparemment familière de nombre ne va pas de soi. Deux exemples : la crise provoquée par la découverte des irrationnels chez les mathématiciens grecs, la différence entre « nombres réels » et « nombres de la calculatrice ».
Il s’agit également de souligner le gain en efficacité et en généralité qu’apporte le calcul littéral, en expliquant qu’une grande partie des mathématiques n’a pu se développer qu’une fois ce formalisme stabilisé au cours des siècles. Il est possible d’étudier des textes anciens d’auteurs tels que Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Fibonacci, Viète, Fermat, Descartes et mettre en évidence leurs aspects algorithmiques.
(Programme, item "Histoire des mathématiques")

Titre : Sur la démonstration de l’irrationalité chez les grecs
dans La démonstration mathématique dans l’histoire, p. 389-423. (Article en ligne)
Auteur : Daumas Denis
Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe, extraits de manuels, chronologie
Points du programme abordés : Irrationalité de racine de 2 (différentes preuves) ; algorithme de Héron ; approximation de racines carrées.

Titre : De la théorie des proportions à la théorie des nombres réels.
dans La mémoire des nombres, p. 295-318. (Article en ligne)
Auteure : Cousquer Eliane
Document pour le prof : Présentation des difficultés posées par la notion de nombre au cours de l’histoire.

Titre : Qu’est-ce que l’algèbre ? Un domaine ou un langage ?
dans L’algèbre au lycée et au collège, p. 40-57. (Article en ligne)
Auteur : Guichard Jean-Paul
Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Diophante, Euclide, Al-Khwarizmi, Viète, Descartes.
Points du programme abordés : calcul littéral (suggestions d’activités)

Titre : D’un problème de Diophante aux identités remarquables
dans Repères-IREM, n°53, p. 5-19. (Article en ligne)
Auteur : Guichard Jean-Paul
Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Diophante, Viète, extraits de manuels, exemples d’activités pour la classe.
Points du programme abordés : identités remarquables, résolution d’équations

Titre : François Viète. De l’algèbre numéreuse à l’algèbre spécieuse
dans Tangente n°166. p. 54-57.
Auteur : Guichard Jean-Paul
Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe : Viète
Points du programme abordés : identités remarquables, résolution d’équations

Géométrie

Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de Descartes, puis par la notion de vecteur, permettent de relier efficacement géométrie, physique et calcul.
On pourra évoquer les mathématiques grecques, en mettant en évidence le rôle central de la géométrie dans la naissance de l’idée de démonstration ainsi que le faible développement de l’algèbre sous l’Antiquité, en partie dû à l’appui systématique sur la géométrie.
(Programme, item "Histoire des mathématiques")

Titre : De la zététique à la géométrie analytique
dans Les mathématiques ne se font pas faites en un jour… T. 5. Cinquième promenade historique. (Article en ligne)
Auteurs : Barbin Evelyne ; Boyé Anne ; Charbonnel Anne-Marie ; Comairas Marie-Céline ; Grenapin Hélène ; Bénard Dominique. Préf.

Titre : Autour de la géométrie analytique
dans La figure et la lettre, p. 279-297.
Auteure : Boyé Anne

Titre : La géométrie d’Euclide en classe de Seconde
Auteur : Laurent Frédéric
dans De grands défis mathématiques, d’Euclide à Condorcet, p. 27-44.

Fonctions

On peut évoquer la très lente élaboration de la notion de fonction, depuis l’Antiquité jusqu’à la codification actuelle par Dirichlet, en mettant en évidence quelques étapes importantes : Newton, Leibniz, Euler. On souligne alors l’importance de la notation algébrique. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

Titre : Le concept de fonction au fil du temps
dans Losanges n°5. p. 11-20. (Article en ligne)
Auteurs : Bair Jacques ; Henry Valérie

Titre : Histoires de symboles.
Auteur : Guichard Jean-Paul

Titre : Galilée, les satellites de Jupiter, pour une introduction à la notion de fonction en classe de Seconde.
dans Mnémosyne n°11. p. 71-73. (Article en ligne)
Auteurs : Bühler Martine ; Plane Henry

Statistique et probabilités

L’histoire des probabilités fournit un cadre pour dégager les éléments de la mathématisation du hasard. Un exemple est le problème des partis, dit aussi du chevalier de Méré, l’échange de lettres entre Pascal et Fermat sur ce point puis les travaux de Pascal, Fermat et Huygens qui en découlent. Le problème du duc de Toscane ou les travaux de Leibniz sur le jeu de dés peuvent aussi être évoqués. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

Sur le problème du duc de Toscane
Titre : Des Probabilités avec Galilée.
dans Bulletin de l’APMEP n°509. p. 245-252. (Article en ligne)
Auteure : Bühler Martine
Document pour le prof : Compte-rendu de travail interdisciplinaire en classe de seconde avec des textes historiques ; fiches-élèves et fiche de synthèse.
Points du programme abordés : probabilités (problème du Duc de Toscane).

Sur le problème des partis
Titre : Probabilités : un problème historique en classe.
dans Bulletin de l’APMEP n°514. p. 264-274. (Article en ligne)
Auteure : Bühler Martine
Document pour le prof : Compte-rendu de travail sur un problème historique en classe ; fiches-élèves et extraits de copie d’élèves. Complément : le diaporama pour la correction de l’activité en classe
Points du programme abordés : probabilités (problème des partis).

Algorithmique et programmation

Les textes évoqués dans la thématique « Nombres et calculs » indiquent une préoccupation algorithmique tout au long de l’Histoire. Lorsqu’un texte historique a une visée algorithmique, transformer les méthodes qu’il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l’occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique. (Programme, item "Histoire des mathématiques")

Titre : Le calcul figuré de l’ancien âge babylonien et de la Chine des Han.
(Article en ligne)
Auteur : Keller Olivier
Document pour le prof : Textes historiques (avec commentaires) qui peuvent donner lieu à des activités en classe ; 9 problèmes du second degré, babyloniens et chinois, résolus de façon algorithmique, avec, pour chacun, une explication algébrique et une figuration géométrique.
Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer ; utiliser les variables et des fonctions élémentaires ; utiliser le calcul littéral.

Titre : Algorithmique et programmation au cycle 4 à partir des grandeurs.
Auteur : IREM de Poitiers Groupe collège
Document pour le prof : La partie 4 contient 20 problèmes variés qui peuvent donner lieu à des activités en classe (multiplication, équation du premier degré, partage, calculs de longueurs, aires, volumes, prix) ; ils sont tirés de papyri égyptiens, de mathématiciens alexandrins (Héron, Théon), des Neufs chapitres de la Chine ancienne, et sont traités de façon algorithmique.
Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer ; utiliser les variables et des fonctions élémentaires ; utiliser le calcul littéral (racines carrées, identités remarquables, fractions) ; résoudre des problèmes de géométrie.

Titre : Histoire des mathématiques pour les collèges.
Auteurs : Hocquenghem Marie-Louise ; Asselain-Missenard Claudie ; Missenard Didier ; Monnet Françoise ; Serfati Anne-Marie ; Tartary Gérard
Document pour la classe : de très nombreuses activités (voir le sommaire détaillé) qui peuvent donner lieu à un travail algorithmique et de programmation.
Points du programme abordés : transformer une méthode en un algorithme, le programmer.

Titre : Résolutions arithmétiques et algébriques de problèmes anciens
dans Bulletin de l’APMEP n°511. p. 577-596. (Article en ligne)
Auteure : Michel-Pajus Anne