Ouvrage collectif sous la direction de
Benoît Rittaud.

Collection Le collège de la
Cité – Éditions Le Pommier/Cité des
sciences et de l’industrie – Mai 2008.

ISBN : 978-2-7465-0370-0.

192 pages en 10 × 16. Prix : 8,60 €.

Après une brève présentation des auteurs
(tous universitaires), et une introduction de
Benoît Rittaud, l’ouvrage comprend quatre
textes, issus d’une série de conférences
données à la Cité des sciences et de l’industrie
du 13 mai au 3 juin 2008 : Les suites
d’entiers (Jean-Christophe Novelli) ;
Codage numérique de l’image (Élise
Janvresse et Thierry de la Rue) ; Les suites
de Fibonacci aléatoires (Benoît Rittaud) ;
L’ubiquité de la suite de Morse (Emmanuel
Lesigne).

Dans l’Introduction, B. Rittaud présente
les mathématiques discrètes comme une
branche récemment développée des mathématiques,
puisque jusqu’à la fin du XIXe
siècle elles se réduisaient à l’arithmétique
et la combinatoire. Elles sont aujourd’hui
impliquées dans la théorie des graphes, la
logique formelle, la théorie des nombres,
la géométrie hyperbolique, la théorie de
l’information, les systèmes dynamiques,
… Les quatre textes suivants en présentent
différents aspects.

Dans Les suites d’entiers, J.-C. Novelli
traite de problèmes de dénombrement, à
travers trois exemples : A(n) = nombre des
ancêtres d’un individu, à la n-ième génération
 ; H(n) = nombre de mouvements nécessaires
pour résoudre le problème des tours
de Hanoï à n disques ; B(n) = nombre
d’arbres binaires à n sommets. Il introduit
l’outil « série génératrice » ; ses explications,
généralement très claires et complètes,
peuvent ici perturber à cause d’un
abus de notation : la même lettre désigne la
suite et B(x) = B(0) + x* B(1) + x^2 * B(2) +..
(à
noter qu’il évite la notation synthétique...)
 ; un développement en
série entière de B(x ) permet de retrouver les
termes de la suite.
Le texte est complété par une présentation
d’un site où sont recensées plus de 100 000
suites, permettant souvent d’identifier une
suite à partir de ses premiers termes, et par
un exemple illustrant la démarche typique
du « combinatoriste ».

Ce texte, rigoureux, précis, et non dénué
d’humour, ne suffit certes pas à donner une
image des maths discrètes dans leur
ensemble, mais fait pénétrer dans un de
leurs domaines particuliers.

Dans Codage numérique de l’image, E.
Janvresse et Th. de la Rue sont au plus près
des applications directes des mathématiques
dans les techniques modernes. Évacuant
rapidement les images vectorielles,
ils présentent différents types de codage
des images matricielles (RGB, HSI, …), et
différentes méthodes de compression
(JPEG en particulier). Les notions qui
jouent un rôle ici sont les arbres, les
matrices, mais aussi la géométrie (chaque
couleur représentée comme un point d’un
cube dont les couleurs primaires sont des
sommets). Un bon exemple de réponse à la
sempiternelle question « les maths, à quoi
ça sert ? ».

Dans Les suites de Fibonacci aléatoires, B.
Rittaud montre comment, à partir de problèmes
posés par les systèmes dynamiques,
la construction de modèles amène à
la création d’objets mathématiques nouveaux.
Fibonacci a inventé sa suite à partir
de l’évolution (très schématisée) d’une
population de lapins ; l’introduction d’une
part de hasard dans leur fécondité amène les
suites de Fibonacci aléatoires, qui ne se
prétendent pas davantage fidèles à la réalité,
mais ne manquent pas d’intérêt et de fertilité
mathématiques : un arbre binaire les
représente toutes ; « presque toutes » ont un
même « facteur de croissance limite », qui
n’est pas égal au nombre d’or, facteur de
croissance limite de la suite de Fibonacci
classique, ni à leur facteur de croissance
limite moyen ; ce dernier se calcule en
résolvant une équation du troisième degré :
la démonstration, par « élagage d’un
arbre », est passionnante. Au passage le
texte signale l’interconnexion de ces
recherches avec la théorie des fractales,
l’arithmétique, la théorie des nombres, les
fractions continues, …

Un texte riche, qui montre les maths discrètes
comme un trait d’union entre les
mathématiques appliquées et les mathématiques
pures, et fait également découvrir
certaines techniques qui leur sont propres.

Enfin E. Lesigne nous fait découvrir
L’ubiquité de la suite de Morse. Titre bien
choisi puisque cette même suite fut découverte
à quatre époques différentes (de 1851 à
1921), par quatre chercheurs différents
(Prouhet, Thue, Euwe, Morse), dans quatre
domaines différents (arithmétique, combinatoire,
jeu d’échecs, géométrie et chaos),
qu’elle se construit ou définit par (au
moins) quatre méthodes ou formules, et que
pourtant il s’agit bien d’une seule et même
suite. Incontestablement il y a de quoi en
faire un objet d’étude, d’autant plus qu’elle
est simple à concevoir : une suite de 1 et de
0 telle que : S(0) = 0, S(2n) = S(n) et
S(2n + 1) = 1 − S(n), et qu’elle possède de
nombreuses et curieuses propriétés concernant
entre autres les fréquences de certains
« mots », l’absence de tout « cube » (mot
répété trois fois). Un objet fascinant, un
texte passionnant, même si beaucoup de
propriétés sont données sans démonstration
ni indication sur la méthode.

Cette absence partielle de démonstrations,
jointe au parti-pris d’éviter tout symbole
un peu compliqué, souligne qu’il s’agit
d’un ouvrage de vulgarisation. Mais vulgarisation
au sens noble du terme, sans
concession, sans perte de rigueur, n’ayant
pour but que de mettre à la portée du plus
grand nombre les découvertes les plus
récentes.

Un livre bien fait, qui contribuera
à la culture mathématique de ses lecteurs.

Marc ROUX