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Quelques aspects des mathématiques actuelles

 par Jean d’ALMEIDA, Sandra DELAUNAY,  Aziz  EL  KACIMI
ALOUDI, Franck LORAY, Raymond MOCHE, Hervé QUEFFÉLEC, Martine
QUEFFÉLEC, Sylvie ROELLY, Carlos SACRÉ, Vincent THILLIEZ, Valério
VASSALO.

Collection «  Mathématiques pour le 2e Cycle  ». Ellipses, Paris, Décembre 1998.

244 p. 17,5 $\times$ 26. Index.

No ISBN 2-7298-6835-6.

Prix  : 160 F.

Cet ouvrage, réalisé par une équipe d’enseignants-chercheurs des Universités de Lille (U.S.T.L.) et Valenciennes et de
l’IREM de Lille, diffère dans son esprit et sa conception de ceux déjà parus dans la  même  collection  et  qui  sont  des ouvrages de maîtrise. Il rassemble des textes rédigés à l’issue de conférences
données, d’une part, lors d’une «  Journée Mathématique  » organisée pour les étudiants par R. Moché et A. El Kacimi en
juin 1996 et, d’autre part, dans un «  Colloque IREM  » destiné aux enseignants et réuni par V. Vassalo.

Les questions présentées appartiennent à des domaines variés et les rédactions sont  plus  ou  moins  longues. H. Queffélec (D’Euclide au grand théorème des nombres premiers de Hadamard et de La Vallée Poussin, en passant par Euler, Tchebychev, Dirichlet, …)
retrace les travaux sur la répartition des nombres premiers en 42 pages. J. d’Almeida (Le dernier théorème de Fermat) explique la stratégie d’Andrew Wiles en 7 pages (la bibliographie aurait pu mentionner la journée SMF de juin 1995 sur le même sujet). M. Queffélec (Suites
prévisibles et imprévisibles) aborde en 35  pages,  dans  une  présentation agréable, un thème important pour la
simulation. S. Delaunay (Transcendance et indépendance algébrique) se laisse guider par le fil des six exponentielles (9 pages).  J. d’Almeida (Groupes  de Galois en géométrie élémentaire) introduit les groupes associés à des problèmes de géométrie élémentaire (7 pages). Dans un gros article de 63 pages,
F. Loray (Séries divergentes) passe en
revue la théorie de la sommabilité, l’algorithme de sommation de Borel-Laplace, la théorie des fonctions résurgentes.
V. Thilliez (Prolongement de Hartogs) donne en 8 pages une preuve moderne d’un théorème classique de prolongement analytique. A. El Kacimi Alaoui (La cohomologie comme exemple d’invariant topologique) introduit la cohomologie à l’aide des formes différentielles, établit ses propriétés et donne de nombreux  exemples  de  calcul  (32
pages). S. Roelly (Marches aléatoires et processus de branchement) décrit, en douze pages, de belles propriétés d’objets maintenant bien étudiés par les probabilistes.

L’ouvrage se termine par un index général. Un livre comme on aimerait en lire beaucoup pour se tenir au courant de la
vie des mathématiques contemporaines.

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