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Rôle des figures à propos du raisonnement

Henri Bareil

1. Du particulier à l’universel

Les problèmes de géométrie conduisent à établir des propriétés vraies pour tel ou tel type de configuration ? Or les libellés scolaires classiques peuvent masquer cette recherche d’universalité ? Voici par exemple le problème : "dessiner un quadrilatère ; étudier la configuration des milieux des cotés." L’étude demandée conduit implicitement à établir une propriété vraie pour tout quadrilatère de départ alors qu’il n’y a qu’un et un seul quadrilatère dessiné. Mais comment un néophyte le saura-t-il ?
Cela doit d’abord être nettement explicité
Sinon, lorsqu’un élève dessine, au départ, un rectangle, pourquoi lui reprocher de s’arrêter à la conclusion que ses milieux forment un losange ?
Une figure n’offre donc alors qu’un support d’exemple ce qui en fixe à la fois la contingence et l’intérêt.

2. Intérêt accordé aux figures-exemples

- soit pour conduire à des conjectures mais il faudra alors varier les figures en agissant sur leurs éléments libres, par exemple pour le problème du premier paragraphe, sur les angles, les longueurs des cotés, des diagonales …
Il s’agit là de la chasse, essentielle, aux figures "particulières" qui parasitent les données par des particularités un peu trop agissantes et capables de fausser les conjectures.
- soit pour servir de contre-exemples. Ainsi le cas particulier évoqué au premier paragraphe infirmerait-il l’affirmation "les milieux des cotés forment un rectangle" … (du moins si le rectangle de départ n’est pas un carré..)

3. Conjugaison avec les effets des traductions d’hypothèses par des tracés

3.1. Ceux-ci sont naturellement imparfaits, approximatifs

Les exemples ou contre-exemples ne peuvent donc jouer qu’à condition de ne pas être viciés par ces approximations. Examinons quelques situations :
Situation 1 : Un élève non prévenu trace les symétriques A’ et B’ de deux points A et B par rapport à une droite $\Delta$ : les droites A’B’ et AB se couperont le plus souvent en dehors de $\Delta$
Situation 2 : A partir d’un triangle avec un angle obtus, on peut infirmer, par le seul dessin, l’affirmation plaçant toujours l’orthocentre d’un triangle à l’intérieur de celui-ci.
Il y aurait donc lieu d’évaluer l’effet des approximations et de proposer des "encadrements de tracés". Ceux-ci justifieraient ce que nous disons à propos de la situation 2. Ils pourraient faciliter un questionnement sur l’intersection des droites A’B et AB dans la situation 1.

3.2 Les tracés peuvent se vouloir approximatifs

Il s’agit alors des figures à main-levée.
Leur intérêt : éviter de présenter comme évidentes des propriétés sur lesquelles il y a lieu de s’interroger. Ainsi, en 4e, pour le problème : "soit un rectangle ABCD, le milieu I de [AB], le symétrique E de C par rapport à I. Étudier la disposition des points A, E, D". Une figure soignée masque le fait qu’il y a lieu de s’interroger sur l’alignement de A,E, D (aussi bien que sur AE=AD). Une figure à main-levée pose bien mieux la question.
Leur inconvénient : inciter à sous-tendre le raisonnement par une prise en compte de dispositions erronées d’éléments sur la figure : cf les "démonstrations" classiques identifiant les angles obtus et des angles droits ou "prouvant" que tout triangle est isocèle.
Mais cet inconvénient a très peu l’occasion d’être efficace et ne doit pratiquement pas minorer l’intérêt des figures à main-levée.

4. Difficultés dans la perception des figures

En voici quelques unes :

4.1. Difficultés dues à un travail à partir de deux losanges : celui d’un énoncé ou d’une situation, celui de la figure. Aussi gagne-t-on à jeter entre eux les passerelles que sont (au moins qu’elle est simple) le codage et le décodage d’une figure.

4.2.L’emprise de directions privilégiées ("verticale", liées aux bords d’une feuille ou du quadrillage) ou de dispositions privilégiées (losange "sur la pointe"....) qui obèrent [1] les programmes de construction ou les possibilités de reconnaissance de formes.

4.3. La nécessité éventuelle d’étendre la figure ou inversement, en abstraire une partie. Dans ce dernier cas, cette partie décelée, il est commode de la prélever sur un calque, ce qui donne une grande flexibilité d’emploi avec réinsertion quand on le veut.

4.4. L’utilité, une figure étant donnée, d’une recherche de façons de la construire.

4.5. La difficulté de percevoir ou de percevoir de façon opérationnelle, les symétries ou translations ou rotation, … laissant une figure globalement invariante.

4.7. Le risque d’enfermer une figure clé dans une définition, serait elle très féconde, elle ne saurait répondre préférentiellement à tout, et ne doit pas obérer d’autres caractérisations. Par exemple, soit la définition du triangle isocèle à partir de la symétrie. Elle sera de portée fort limitée dans la situation proposée par la figure ci-contre et qui interrogerait sur [BD], [CE] et $\widehat{BLC}$. Par contre la définition élémentaire du triangle isocèle, jointe à un cas d’égalité, répondrait pour BD=CE. Et pour $\widehat{BLC}=\widehat{BAC}$ aussi bien que pour BD=CE, il serait très opérationnel d’avoir caractérisée le triangle isocèle comme tel qu’il existe une rotation, centrée en un sommet qui envoie un coté sur un autre.

5. Les problèmes libres à partir de figures

Ils sont aussi multiples qu’attractifs :
- Recherche d’un minimum de données pour reconstruire une figure donnée ; divers choix possibles, compatibilités en cas de surabondance des données … (on trouve cela dans les figures dites "téléphonées")
- Une figure étant donnée, avec des hypothèses, recherche libre de conjectures et de preuves pour tel éléments de la figure.
- Recherche des conséquences entrainées par la variation de tel ou tel point quand on fixe tel(s) et tel(s) autres....

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] endetter fortement