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Sangaku

Marc Roux

- 1er avril 2009 -

par Géry HUVENT préface d’Annick HORIUCHI.

Éditions Dunod – 2008.

172 pages en couleurs en 17 × 17.

ISBN : 978-2-10-052030-5.

Au Japon, les sangaku sont des énigmes géométriques peintes sur des tablettes de bois accrochées aux auvents des sanctuaires shinto et des temples bouddhistes.

Il subsiste de nos jours 817 de ces témoignages de la rivalité des mathématiciens et de la publicité que chacun faisait pour son école. De nombreuses et belles photographies en couleurs nous les montrent.

La préface relate l’histoire du wasan (mathématiques japonaises) depuis la publication du Jinkôki (« traité inaltérable  ») de Yoshida Mitsuyoshi (1627).

Une page explique le principe des sangaku : d’un dessin géométrique, on doit extraire des informations pour répondre à une question très brève, soit fermée$ (r^{2}_{1} =r_{2} r_{3})$, soit ouverte ($r/c = ?$). Dans la présentation adoptée, un code de couleurs évite bien des phrases : deux figures de même couleur sont isométriques ; la figure, son nom, celui de son rayon ou côté sont imprimées de la même couleur.

34 sangaku sont présentés ; ils datent pour la plupart du XIXe siècle. 30 portent sur la géométrie plane, 4 sur la géométrie dans l’espace. 4 font intervenir des ellipses, les autres se limitent aux figures simples : triangles, cercles, carrés.
Les énoncés sont assez originaux et différents de ceux de nos manuels scolaires ; un grand nombre d’entre eux fait intervenir des cercles inscrits  : dans des triangles, mais aussi dans des triangles curvilignes, dans des trapèzes, …
Ils sont répartis en trois niveaux de difficulté : 18 de niveau 1, 13 de niveau 2, 3 de niveau 3. Mais qu’on ne s’y trompe pas : à l’exception du premier, qu’un élève de troisième doit pouvoir résoudre, chacun nécessite une recherche longue, avec ajout de bien des points et droites sur la figure d’origine, essais et erreurs, … Les connaissances requises vont du théorème de Pythagore (omniprésent, et qui souvent suffit) à la trigonométrie et à l’équation de l’ellipse, en passant par la formule d’Al Kashi ou la géométrie analytique ; on utilise aussi six résultats assez peu connus de nos élèves, énoncés et démontrés à la fin de l’ouvrage dans un Mémento : rayon du cercle inscrit en fonction de l’aire et du périmètre ($r = A/p$), cas particulier du triangle rectangle ($ r = (a + b − c)/2 $), formule de Héron, cercle bitangent à une ellipse, …

Les solutions sont détaillées, claires, complètes et rigoureuses ; souvent elles donnent des idées de méthodes applicables à d’autres problèmes.

Puisqu’il faut bien signaler les défauts mineurs, j’ai relevé une interversion de figures (p. 82-83), une incohérence de notations entre énoncé et corrigé (p. 151- 152), et deux occurrences où on aurait pu remarquer l’apparition du nombre d’or (p. 104 et 147).

Ce bel objet aux couleurs vives donnera bien du plaisir à tous ceux qui aiment chercher, faire du sport cérébral. Certains sangaku sont utilisables en tant qu’exercices en classe à condition d’ajouter des indications.

Et ce livre est également une mine d’idées pour clubs mathématiques, problèmes de recherche, TPE, option sciences, etc.

Marc ROUX