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Structures Algébriques Élémentaires, Arithmétique

Exercices corrigés avec rappels de cours.

Marc Roux

- 15 décembre 2010 -

par Jean-Jacques Colin et Jean-Marie Morvan avec la participation de Rémi Morvan.
Éditions Cépaduès 2010 – Collection Bien débuter en mathématiques – L1, classes préparatoires. 144 p. en 14,5 x20,5. Prix : 17 €.
ISBN : 978-2-85428-947-3.

De nombreuses parutions des éditions Cépaduès, et notamment de ces auteurs, ont été présentées ici (BV 472, 478, 481, 482, 489, …). Cette livraison est conforme à la forme et à l’esprit des précédentes : quatre chapitres comprenant chacun des Rappels de cours, sans démonstrations, mais avec exemples, et des Exercices, chacun immédiatement suivi de son corrigé ; notices historiques par Rémi Morvan ; énoncés qui ne visent pas l’originalité, mais au contraire à faire découvrir ceux qui « reviennent immanquablement dans les sujets d’examen et de concours » ; corrigés rigoureux et clairs ; niveau de difficulté variable, globalement bien adapté au public visé.

Les trois premiers chapitres : Lois de composition interne, Groupes, Anneaux-Corps présentent les bases indispensables sur les structures algébriques ; plus d’un des exercices proposés étaient classiques en lycée au temps des « maths modernes ».
Le chapitre 4 : Arithmétique, occupe plus de la moitié des pages, et contient 76 exercices sur un total de 104. Il s’agit d’arithmétique dans $\mathbb{Z}$ ; les interconnexions avec ce qui précède sont rares (quelques calculs dans l’anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$). Les énoncés guident le lecteur vers des démonstrations de théorèmes célèbres (de Fermat, de Wilson, …), puis l’entraînent à les utiliser en lui fournissant des méthodes standardisées (séries d’exercices voisins) ; ils lui font découvrir les nombres de Mersenne, ceux de Fermat, la conjecture de Goldbach, celle des nombres premiers jumeaux, … (avec des notes à caractère historique).

On peut regretter : comme pour tous les livres de la collection, la place des corrigés, placés directement après chaque énoncé au lieu d’être regroupés en fin de chapitre ; la rareté des questions ouvertes, faisant appel à l’imagination ; quelques rares coquilles ; dans quelques cas, des complications superflues dans le corrigé ; un ou deux énoncés incohérents, frisant le surréalisme (n° 49 : n entier > 0, montrer que si $3^{n} + 1$ est premier, alors … : l’hypothèse impliquerait que $3^n$ soit pair !).

Il s’agit néanmoins d’un bon outil de travail, solide, pratique et fiable pour les étudiants, y compris les candidats au CAPES, qui y trouveront non seulement des savoirs et des savoir-faire, mais aussi des éléments de culture mathématique.

Marc ROUX