Sujet national 1

THÈMES : DENOMBREMENTS, SUITES

ÉNONCÉ

La « spirale »

Le plan muni d’un repère orthonormal d’origine O (unité 1 cm), est quadrillé de droites parallèles aux axes de coordonnées et passant par tous les points à coordonnées entières du plan. Sur ce quadrillage, on construit, en partant du point O vers le bas, une ligne brisée en forme de « spirale » qui « tourne dans le sens contraire des aiguilles d’une montre », conformément au dessin ci-dessous.

Pour tout point M à coordonnées entières, on note $\ell (M)$ la longueur de la portion de « spirale » qui va du point O au point M.

1) Soit A un point de l’axe des abscisses tel que OA = 5.

Déterminer les valeurs possibles de $\ell (A)$.

2) Soit B le point de coordonnées (2005 ; 2006).

Déterminer $\ell (B)$.

3) Déterminer les coordonnées du point C tel que $\ell (C) = 2006$.

4) La « spirale » passe-t-elle effectivement par tous les points à coordonnées entières du plan ?

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