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TOUT – Les rêves mathématiques d’une théorie ultime.

par Jean-Paul Delahaye.

Hermann, 2011.

280 pages en 15 X 21.

ISBN : 978-2-7056-8190-6. Prix : 23 €.

Cet ouvrage, illustré en noir et blanc et en
couleurs, comporte une introduction, sept
chapitres (incluant des encadrés), une
conclusion et une bibliographie. Chaque chapitre
débute par un Résumé, suivi de citations,
et se termine par un à sept
Compléments.

Dans son Introduction, l’auteur précise son
projet : rendre compte de quelques tentatives
passées ou en cours de développement, pour
« penser le TOUT », avec pour seule
contrainte d’éviter la contradiction. Il évoque
les liens entre le TOUT mathématique et le
TOUT physique. Soucieux d’éviter les
aspects trop techniques, il veut seulement
« montrer l’entrée de quelques chemins
empruntés par les chercheurs » ; néanmoins
les Compléments présentent des énoncés
précis et des démonstrations rigoureuses. Et
les obstacles sur ces chemins sont aussi évoqués.

Le Chapitre 1 : le TOUT des très grands
entiers
présente la théorie de Ramsey : partant
de l’hypothèse d’un univers fini, mais très grand, on a à manipuler des entiers
« énormes », impossibles à écrire de façon
classique, d’où les notations de Knuth et de
Conway.

Le Chapitre 2 : Les nombres réunis dans
un TOUT
explique la théorie des nombres
surréels de John Conway : ils forment un
corps commutatif ordonné réel clos, qui
contient les réels, mais aussi les ordinaux de
Cantor, les infinitésimaux, et bien d’autres
nombres, tous construits de façon récursive
par un procédé très proche des coupures de
Dedekind ; mais ils ne forment pas un
ensemble au sens de l’axiomatique ZFC
(Zermelo-Fraenkel avec axiome du Choix)…

Le Chapitre 3 : Le TOUT autoréférentiel
est-il possible ?
commence par des divertissements
(phrases autoréférentielles, paradoxes
amusants), évoque des oeuvres d’art
(Magritte, Escher ; voir le site conseillé par
Jean-Paul Delahaye : http://escherdroste.
math.leidenuniv.nl/) avant d’évoquer les
théorèmes d’incomplétude de Gödel (qui
sont démontrés en Compléments), et leurs
utilisations abusives en philosophie.

Dans le Chapitre 4 : Le TOUT ensembliste
et ses extensions
, on découvre qu’il existe
des alternatives à l’axiomatique classique
ZFC : par exemple la théorie des hyperensembles,
dans laquelle un ensemble peut
être élément de lui-même ; mais il n’y a pas
d’ensemble de tous les ensembles ; ou encore
la théorie NFU (New Foundation de
quine, avec adjonction d’ur-éléments, c’està-
dire atomes), qui, elle, accepte l’ ensemble
de tous les ensembles, mais dans laquelle le
théorème de Cantor : Card(P(E)) > Card(E) ,
n’est plus vrai.

Le Chapitre 5 : L’avenir du TOUT s’appuie
sur les « jeux de chapeaux » (jeux de
logique où on doit déduire la couleur de son
propre chapeau de l’observation des autres,
avec de multiples variantes) pour montrer
que l’usage de l’axiome du choix aboutit,
sinon à des contradictions logiques, du moins
à des conclusions contraires au sens commun,
comme la possibilité (sous réserve que
les états possibles du monde forment un
ensemble) de prédire l’avenir de façon
presque sûre (ensemble des erreurs de mesure
nulle).

Le Chapitre 6 : Le TOUT des mondes
quantiques
présente l’hypothèse de Hugh
Everett, selon laquelle le paradoxe du Chat
de Schrödinger est résolu par la création de
deux univers, l’un dans lequel le chat est
mort, l’autre où il est vivant ; poussant à bout
la logique, et avec un humour très noir, les
chercheurs envisagent le « suicide quantique
 » : je monte une expérience telle que je
survis seulement dans l’univers où j’ai, par
exemple, gagné au loto !

Enfin le Chapitre 7 : Et si TOUT était
mathématique
 ? propose de répondre à l’interrogation
de Wigner sur la « déraisonnable
efficacité des mathématiques dans les
sciences naturelles » par le fondamentalisme
mathématique de Max Tegmark : a) Le
monde physique est un objet mathématique,
et b) L’univers est composé de la totalité des
structures mathématiques possibles, chacune
constituant un univers physique possible
réel, parallèle au nôtre ; thèse qui bute sur la
difficulté de définir généralement les structures.

La Conclusion prend acte de la non-convergence
des diverses approches du TOUT, mais
souhaite que la science poursuive cette
recherche, « car ce que la science n’aborde
pas, d’autres s’en chargent… pour le pire. »

Pour quiconque aime à se poser de « grandes
questions », ce livre est absolument passionnant.

Avec rigueur et clarté, il met à notre disposition
des résultats de logique et de mathématiques
très récents (2008…). Bien sûr,
l’auteur n’a pas pu tout dire ; mais nul doute
que la riche bibliographie apporte la réponse
aux questions de chaque lecteur (par
exemple : comment la multiplication des surréels,
qui est commutative, s’articule-t-elle
avec celle des ordinaux, qui ne l’est pas ? et
pourquoi avoir « évacué » la théorie des catégories
 ?), mais il reste qu’avec autant d’humour
que de sérieux, de légèreté que de profondeur,
Jean-Paul Delahaye nous convainc
que les élucubrations apparemment les plus
farfelues valent la peine d’être examinées ; il
nous étonne, nous fait réfléchir et rêver…

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