496

TOUT – Les rêves mathématiques d’une théorie ultime

par Jean-Paul Delahaye.

Hermann, 2011.

280 pages en 15 X 21.

ISBN : 978-2-7056-8190-6.

Prix : 23 €.

Cet ouvrage, illustré en noir et blanc et en
couleurs, comporte une introduction, sept
chapitres (incluant des encadrés), une
conclusion et une bibliographie. Chaque chapitre
débute par un Résumé, suivi de citations,
et se termine par un à sept
Compléments.

Dans son Introduction, l’auteur précise son
projet : rendre compte de quelques tentatives
passées ou en cours de développement, pour
« penser le TOUT », avec pour seule
contrainte d’éviter la contradiction. Il évoque
les liens entre le TOUT mathématique et le
TOUT physique. Soucieux d’éviter les
aspects trop techniques, il veut seulement
« montrer l’entrée de quelques chemins
empruntés par les chercheurs » ; néanmoins
les Compléments présentent des énoncés
précis et des démonstrations rigoureuses. Et
les obstacles sur ces chemins sont aussi évoqués.

  • Le Chapitre 1 : le TOUT des très grands
    entiers
    présente la théorie de Ramsey : partant
    de l’hypothèse d’un univers fini, mais très grand, on a à manipuler des entiers
    « énormes », impossibles à écrire de façon
    classique, d’où les notations de Knuth et de
    Conway.
  • Le Chapitre 2 : Les nombres réunis dans
    un TOUT
    explique la théorie des nombres
    surréels de John Conway : ils forment un
    corps commutatif ordonné réel clos, qui
    contient les réels, mais aussi les ordinaux de
    Cantor, les infinitésimaux, et bien d’autres
    nombres, tous construits de façon récursive
    par un procédé très proche des coupures de
    Dedekind ; mais ils ne forment pas un
    ensemble au sens de l’axiomatique ZFC
    (Zermelo-Fraenkel avec axiome du Choix)…
  • Le Chapitre 3 : Le TOUT autoréférentiel
    est-il possible ?
    commence par des divertissements
    (phrases autoréférentielles, paradoxes
    amusants), évoque des œuvres d’art
    (Magritte, Escher ; voir le site conseillé par
    Jean-Paul Delahaye
     : avant d’évoquer les
    théorèmes d’incomplétude de Gödel (qui
    sont démontrés en Compléments), et leurs
    utilisations abusives en philosophie.
  • Dans le Chapitre 4 : Le TOUT ensembliste
    et ses extensions,
    on découvre qu’il existe
    des alternatives à l’axiomatique classique
    ZFC : par exemple la théorie des hyperensembles,
    dans laquelle un ensemble peut
    être élément de lui-même ; mais il n’y a pas
    d’ensemble de tous les ensembles ; ou encore
    la théorie NFU (New Foundation de
    quine, avec adjonction d’Ur-éléments, c’est-à-
    dire atomes), qui, elle, accepte l’ ensemble
    de tous les ensembles, mais dans laquelle le
    théorème de Cantor : Card(P(E)) > Card(E) ,
    n’est plus vrai.
  • Le Chapitre 5 : L’avenir du TOUT s’appuie
    sur les « jeux de chapeaux » (jeux de
    logique où on doit déduire la couleur de son
    propre chapeau de l’observation des autres,
    avec de multiples variantes) pour montrer
    que l’usage de l’axiome du choix aboutit,
    sinon à des contradictions logiques, du moins
    à des conclusions contraires au sens commun,
    comme la possibilité (sous réserve que
    les états possibles du monde forment un
    ensemble) de prédire l’avenir de façon
    presque sûre (ensemble des erreurs de mesure
    nulle).
  • Le Chapitre 6 : Le TOUT des mondes
    quantiques
    présente l’hypothèse de Hugh
    Everett, selon laquelle le paradoxe du Chat
    de Schrödinger est résolu par la création de
    deux univers, l’un dans lequel le chat est
    mort, l’autre où il est vivant ; poussant à bout
    la logique, et avec un humour très noir, les
    chercheurs envisagent le « suicide quantique » : je monte une expérience telle que je
    survis seulement dans l’univers où j’ai, par
    exemple, gagné au loto !
  • Enfin le Chapitre 7 : Et si TOUT était
    mathématique ?
    propose de répondre à l’interrogation
    de Wigner sur la «  déraisonnable
    efficacité des mathématiques dans les
    sciences naturelles
     » par le fondamentalisme
    mathématique de Max Tegmark : a) Le
    monde physique est un objet mathématique,
    et b) L’univers est composé de la totalité des
    structures mathématiques possibles, chacune
    constituant un univers physique possible
    réel, parallèle au nôtre ; thèse qui bute sur la
    difficulté de définir généralement les structures.

La Conclusion prend acte de la non-convergence
des diverses approches du TOUT, mais
souhaite que la science poursuive cette
recherche, « car ce que la science n’aborde
pas, d’autres s’en chargent… pour le pire. »

Pour quiconque aime à se poser de « grandes
questions », ce livre est absolument passionnant.

Avec rigueur et clarté, il met à notre disposition
des résultats de logique et de mathématiques
très récents (2008…). Bien sûr,
l’auteur n’a pas pu tout dire ; mais nul doute
que la riche bibliographie apporte la réponse
aux questions de chaque lecteur (par
exemple : comment la multiplication des surréels,
qui est commutative, s’articule-t-elle
avec celle des ordinaux, qui ne l’est pas ? et
pourquoi avoir « évacué » la théorie des catégories
 ?), mais il reste qu’avec autant d’humour
que de sérieux, de légèreté que de profondeur,
Jean-Paul Delahaye nous convainc
que les élucubrations apparemment les plus
farfelues valent la peine d’être examinées ; il
nous étonne, nous fait réfléchir et rêver…

L’APMEP

Brochures & Revues
Ressources

Actualités et Informations

Actualités et Informations avec nos partenaires

Base de ressources bibliographiques

Publimath, base de ressources bibliographiques

 

Les Régionales de l’APMEP

les Régionales de l'APMEP