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Tribus et probabilités sur les univers infinis

- 13 février 2009 -

par Daniel SAADA,

saada.daniel @gmail.com, octobre 2008.

ISBN 978-2-9525437-4-3.

305 p. en 16 × 24.

Cet ouvrage, consacré aux fondements de la théorie de la mesure, se propose de répondre à la question : pourquoi des tribus ?

On peut dire que cette interrogation a beaucoup préoccupé les mathématiciens de la première moitié du vingtième siècle soucieux de donner des bases axiomatiques au calcul des probabilités encore cantonné alors pour l’essentiel aux jeux de hasard et qu’elle interpelle encore les étudiants qui ne voient pas la nécessité de maîtriser les subtilités de la théorie des ensembles pour maîtriser celle de la mesure.

L’ouvrage qui débute par un avant-propos suivi de 37 pages de définitions, notations et prérequis est divisé en 19 chapitres : Probabilités sur les algèbres, sur les univers dénombrables, Théorème d’Ulam, Ensembles négligeables, Construction des mesures de Borel, Tribus et familles monotones, Théorème de Zermelo, Tribus de Rn, Probabilités sur les boréliens de R, de Borel à Lebesgue, Naissance de l’intégrale, Application aux probabilités, Probabilités sur un univers produit, Fonctions boréliennes, Jeu de Pile ou Face, Mesures additives sur P(N), Théorème de Zorn, Convergence d’une suite de probabilités, Convergence des variables aléatoires.

Limité à un exposé linéaire, il ne comporte aucun exercice. Le but de l’auteur d’offrir un ouvrage de référence largement autonome et substantiel est atteint, mais que le lecteur ne s’attende pas à y trouver un traité de calcul des probabilités : ni loi des grands nombres, ni théorème de la limite centrée ni aucune modélisation de situation concrète.

Ce livre intéressera tous ceux qui veulent comprendre sur quels fondements solides doit reposer toute théorie si l’on veut l’appliquer à résoudre des problèmes. Les agrégatifs y trouveront de quoi structurer leurs connaissances pour les utiliser soit à l’écrit, soit à l’oral.

Paul-Louis HENNEQUIN